Номер 3.4, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.4. Каким числом, рациональным или иррациональным, является:

а) сумма рационального и иррационального чисел;

б) разность рационального и иррационального чисел;

в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;

г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

а) сумма рационального и иррационального чисел;

Пусть $r$ — рациональное число ($r \in \mathbb{Q}$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$).
Рассмотрим их сумму $S = r + i$.
Докажем от противного. Предположим, что сумма $S$ является рациональным числом. Обозначим эту сумму как $S_r$, где $S_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда мы имеем равенство: $S_r = r + i$.
Выразим из этого равенства иррациональное число $i$:
$i = S_r - r$.
Поскольку $S_r$ и $r$ — рациональные числа, их разность также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно операции вычитания).
Следовательно, $i$ должно быть рациональным числом. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что $i$ — иррациональное число.
Таким образом, наше предположение было неверным, и сумма рационального и иррационального чисел не может быть рациональным числом.

Ответ: иррациональным.

б) разность рационального и иррационального чисел;

Пусть $r \in \mathbb{Q}$ и $i \in \mathbb{I}$. Рассмотрим их разность $D = r - i$.
Предположим от противного, что разность $D$ является рациональным числом. Обозначим ее как $D_r$, где $D_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда $D_r = r - i$.
Выразим $i$ из этого равенства:
$i = r - D_r$.
Так как $r$ и $D_r$ — рациональные числа, их разность $r - D_r$ также является рациональным числом.
Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит условию.
Следовательно, разность рационального и иррационального чисел всегда иррациональна. Аналогичное доказательство можно провести и для разности $i - r$.

Ответ: иррациональным.

в) произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;

Пусть $r$ — не равное нулю рациональное число ($r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$).
Рассмотрим их произведение $P = r \cdot i$.
Предположим от противного, что произведение $P$ является рациональным числом. Обозначим его как $P_r$, где $P_r \in \mathbb{Q}$.
Тогда $P_r = r \cdot i$.
Поскольку по условию $r \neq 0$, мы можем разделить обе части равенства на $r$ и выразить $i$:
$i = \frac{P_r}{r}$.
Так как $P_r$ и $r$ — рациональные числа и $r \neq 0$, их частное $\frac{P_r}{r}$ также является рациональным числом (множество рациональных чисел замкнуто относительно деления на ненулевое число).
Таким образом, $i$ должно быть рациональным числом, что противоречит условию.
Наше предположение неверно.

Ответ: иррациональным.

г) частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?

Пусть $r$ — не равное нулю рациональное число ($r \in \mathbb{Q}, r \neq 0$), а $i$ — иррациональное число ($i \in \mathbb{I}$). Отметим, что любое иррациональное число также не равно нулю.
Рассмотрим их частное $Q = \frac{r}{i}$.
Предположим от противного, что частное $Q$ является рациональным числом. Обозначим его как $Q_r$, где $Q_r \in \mathbb{Q}$.
Так как $r \neq 0$, то и $Q_r$ не может быть равно нулю.
Тогда $Q_r = \frac{r}{i}$.
Выразим $i$ из этого равенства:
$i = \frac{r}{Q_r}$.
Поскольку $r$ и $Q_r$ — рациональные числа и $Q_r \neq 0$, их частное $\frac{r}{Q_r}$ является рациональным числом.
Это означает, что $i$ — рациональное число, что противоречит исходному условию.
Следовательно, наше предположение было ложным.

Ответ: иррациональным.