Номер 3.9, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.9. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен:

а) $\sqrt{2}$;

б) $\sqrt{3} - 5$;

в) $\sqrt{5} - 2$;

г) $\sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Общий подход для решения данной задачи заключается в использовании теоремы Виета. Если квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с целыми (а в общем случае, с рациональными) коэффициентами имеет иррациональный корень вида $p + \sqrt{q}$, то вторым корнем обязательно будет сопряженное ему число $p - \sqrt{q}$. Тогда приведенное квадратное уравнение можно составить по формуле $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

a) Дан корень $x_1 = \sqrt{2}$.

Для того чтобы коэффициенты уравнения были целыми, второй корень $x_2$ должен быть сопряженным к первому, то есть $x_2 = -\sqrt{2}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2$.

Подставим найденные значения в формулу приведенного квадратного уравнения:

$x^2 - (0)x + (-2) = 0$

$x^2 - 2 = 0$.

Коэффициенты этого уравнения (1, 0, -2) являются целыми.

Ответ: $x^2 - 2 = 0$.

б) Дан корень $x_1 = \sqrt{3} - 5$.

Представим корень в виде $x_1 = -5 + \sqrt{3}$. Сопряженным к нему будет корень $x_2 = -5 - \sqrt{3}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (-5 + \sqrt{3}) + (-5 - \sqrt{3}) = -10$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-5 + \sqrt{3})(-5 - \sqrt{3}) = (-5)^2 - (\sqrt{3})^2 = 25 - 3 = 22$.

Составим уравнение:

$x^2 - (-10)x + 22 = 0$

$x^2 + 10x + 22 = 0$.

Коэффициенты (1, 10, 22) являются целыми.

Ответ: $x^2 + 10x + 22 = 0$.

в) Дан корень $x_1 = \sqrt{5} - 2$.

Представим корень в виде $x_1 = -2 + \sqrt{5}$. Сопряженным к нему будет корень $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.

Найдем сумму и произведение корней:

Сумма: $x_1 + x_2 = (-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5}) = -4$.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = (-2 + \sqrt{5})(-2 - \sqrt{5}) = (-2)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

Составим уравнение:

$x^2 - (-4)x + (-1) = 0$

$x^2 + 4x - 1 = 0$.

Коэффициенты (1, 4, -1) являются целыми.

Ответ: $x^2 + 4x - 1 = 0$.

г) Дан корень $x_1 = \sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Этот корень содержит два иррациональных слагаемых. Попытаемся составить уравнение, изолировав иррациональность. Пусть $x = \sqrt{3} - \sqrt{8}$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{8})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2 = 3 - 2\sqrt{24} + 8 = 11 - 2\sqrt{24}$.

Упростим радикал: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$x^2 = 11 - 2(2\sqrt{6}) = 11 - 4\sqrt{6}$.

В уравнении все еще есть иррациональность. Уединим ее:

$x^2 - 11 = -4\sqrt{6}$.

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от оставшегося корня:

$(x^2 - 11)^2 = (-4\sqrt{6})^2$

$x^4 - 22x^2 + 121 = 16 \cdot 6$

$x^4 - 22x^2 + 121 = 96$

$x^4 - 22x^2 + 25 = 0$.

Полученное уравнение имеет целые коэффициенты, и одним из его корней является $\sqrt{3} - \sqrt{8}$. Однако это уравнение является биквадратным (уравнением четвертой степени), а не квадратным. Квадратное уравнение с целыми коэффициентами не может иметь корень вида $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, где $a,b$ - не квадраты рациональных чисел и $\sqrt{a/b}$ - иррациональное число. Таким образом, составить требуемое *квадратное* уравнение невозможно.

Ответ: Составить такое квадратное уравнение невозможно. Минимальное уравнение с целыми коэффициентами, имеющее такой корень, является уравнением четвертой степени: $x^4 - 22x^2 + 25 = 0$.