Номер 3.3, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3.3. а) Пусть $\frac{p}{q}$ — несократимая дробь и $q > 1$. Докажите, что натуральная степень $(\frac{p}{q})^n$, $n \in N$, есть также несократимая дробь.

б) Пусть $a^n$, $n \in N$, — целое число. Докажите, что $a$ — либо целое, либо иррациональное число.

в) Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$.

а) Пусть дана несократимая дробь $\frac{p}{q}$, где $p, q$ - целые числа, $q > 1$. По определению несократимой дроби, наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя равен 1, то есть $\text{НОД}(p, q) = 1$. Нам нужно доказать, что для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$ дробь $(\frac{p}{q})^n = \frac{p^n}{q^n}$ также является несократимой. Это равносильно доказательству того, что $\text{НОД}(p^n, q^n) = 1$. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что дробь $\frac{p^n}{q^n}$ сократима. Это означает, что $\text{НОД}(p^n, q^n) > 1$. Если НОД двух чисел больше единицы, то у них есть общий простой делитель. Обозначим этот простой делитель как $d$. Таким образом, $p^n$ делится на $d$, и $q^n$ делится на $d$. Согласно основной теореме арифметики (или лемме Евклида), если простое число делит произведение нескольких множителей, то оно должно делить хотя бы один из этих множителей. Поскольку $d$ делит $p^n = p \cdot p \cdot \ldots \cdot p$ ($n$ раз), то $d$ должно делить $p$. Аналогично, поскольку $d$ делит $q^n = q \cdot q \cdot \ldots \cdot q$ ($n$ раз), то $d$ должно делить $q$. Мы пришли к тому, что простое число $d$ является общим делителем для $p$ и $q$. Это означает, что $\text{НОД}(p, q) \ge d$. Так как $d$ — простое число, то $d > 1$, и, следовательно, $\text{НОД}(p, q) > 1$. Однако это противоречит нашему исходному условию о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть $\text{НОД}(p, q) = 1$. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть для некоторого числа $a$ и натурального числа $n \in \mathbb{N}$ известно, что $a^n$ — целое число. Нужно доказать, что $a$ является либо целым, либо иррациональным числом. Любое действительное число $a$ по определению является либо рациональным, либо иррациональным. Рассмотрим эти два случая. 1. Если $a$ — иррациональное число, то условие "либо целое, либо иррациональное" выполняется. 2. Если $a$ — рациональное число, то его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и $\text{НОД}(p, q) = 1$. Тогда $a^n = (\frac{p}{q})^n = \frac{p^n}{q^n}$. По условию задачи, $a^n$ — это целое число. Если $q = 1$, то $a = \frac{p}{1} = p$, то есть $a$ является целым числом. В этом случае утверждение "либо целое, либо иррациональное" также выполняется. Если же $q > 1$, то, согласно доказанному в пункте а), дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой. Несократимая дробь может быть целым числом только в том случае, если ее знаменатель равен 1. В нашем случае знаменатель равен $q^n$. Поскольку $q > 1$ и $n \ge 1$, то $q^n > 1^n = 1$. Таким образом, при $q > 1$ дробь $\frac{p^n}{q^n}$ является несократимой со знаменателем, большим 1, а значит, она не может быть целым числом. Это противоречит условию, что $a^n$ — целое число. Следовательно, случай, когда $a$ — рациональное число, но не целое (т.е. $q > 1$), невозможен. Из этого следует, что если $a$ — рациональное число, то оно обязательно должно быть целым. Таким образом, для числа $a$ остаются только две возможности: оно либо целое, либо иррациональное.
Ответ: Утверждение доказано.

в) Опираясь на доказанные утверждения, докажем иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$. Пусть $a = \sqrt[3]{21}$. Мы хотим доказать, что $a$ — иррациональное число. Применим утверждение из пункта б). Для этого нам нужно найти такое натуральное $n$, чтобы $a^n$ было целым числом. Выберем $n=3$. Тогда $a^n = a^3 = (\sqrt[3]{21})^3 = 21$. Число 21 является целым. Следовательно, для $a = \sqrt[3]{21}$ и $n=3$ условия пункта б) выполнены. Согласно выводу из пункта б), число $a = \sqrt[3]{21}$ должно быть либо целым, либо иррациональным. Теперь проверим, является ли $a = \sqrt[3]{21}$ целым числом. Рассмотрим кубы целых чисел, близких к 21: $2^3 = 8$ $3^3 = 27$ Так как $8 < 21 < 27$, мы можем заключить, что $2 < \sqrt[3]{21} < 3$. Поскольку $\sqrt[3]{21}$ находится между двумя последовательными целыми числами, оно не может быть целым числом. Итак, мы установили, что число $\sqrt[3]{21}$ является либо целым, либо иррациональным, и при этом показали, что оно не целое. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что оно иррационально.
Ответ: Иррациональность числа $\sqrt[3]{21}$ доказана.