Номер 2.3, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.3. Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным:

a) 17;

б) 236?

Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.

а)

Нам необходимо найти количество обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 17. Такая дробь имеет вид $m/17$.

Дробь является правильной, если её числитель меньше знаменателя ($m < 17$), и несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1, $НОД(m, 17) = 1$). Поскольку числитель $m$ должен быть натуральным числом, то $1 \le m < 17$.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества натуральных чисел, которые меньше 17 и взаимно просты с ним. Это количество определяется функцией Эйлера $\phi(n)$. В нашем случае, нам нужно найти $\phi(17)$.

Число 17 является простым. Для любого простого числа $p$ значение функции Эйлера вычисляется по формуле $\phi(p) = p - 1$. Следовательно, $\phi(17) = 17 - 1 = 16$. Это означает, что существует 16 таких дробей.

Наибольшая из этих дробей будет иметь наибольший возможный числитель. Наибольшее натуральное число $m$, которое удовлетворяет условиям $1 \le m < 17$ и $НОД(m, 17) = 1$, — это 16. Следовательно, наибольшая дробь — это $16/17$.

Ответ: существует 16 дробей, наибольшая из них — $16/17$.

б)

Теперь найдем количество обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем 236. Дробь имеет вид $m/236$, где $1 \le m < 236$ и $НОД(m, 236) = 1$.

Количество таких дробей равно значению функции Эйлера $\phi(236)$. Для вычисления $\phi(236)$ сначала разложим число 236 на простые множители: $236 = 2 \cdot 118 = 2 \cdot 2 \cdot 59 = 2^2 \cdot 59$.

Используем формулу для функции Эйлера: $\phi(n) = n \cdot \prod_{p|n} (1 - 1/p)$, где $p$ — это уникальные простые делители числа $n$. $\phi(236) = 236 \cdot (1 - 1/2) \cdot (1 - 1/59) = 236 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{58}{59} = 118 \cdot \frac{58}{59} = 2 \cdot 58 = 116$. Следовательно, существует 116 таких дробей.

Наибольшая из этих дробей будет иметь наибольший возможный числитель $m$, такой, что $m < 236$ и $НОД(m, 236) = 1$. Это означает, что $m$ не должно делиться на простые делители числа 236, то есть на 2 и на 59.

Проверим наибольшее возможное значение для числителя, $m = 235$. Число 235 не делится на 2 (так как оно нечетное) и не делится на 59 (так как $59 \cdot 4 = 236$). Следовательно, $НОД(235, 236) = 1$, и 235 — это самый большой возможный числитель. Наибольшая дробь — это $235/236$.

Ответ: существует 116 дробей, наибольшая из них — $235/236$.