Номер 2.8, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2.8. Известно, что $0 < a < b$. Какое из двух чисел, $\frac{a}{b}$ или $\frac{b}{a}$, лежит ближе к 1?

Чтобы определить, какое из двух чисел, $ \frac{a}{b} $ или $ \frac{b}{a} $, лежит ближе к 1, необходимо сравнить расстояния от этих чисел до 1 на числовой прямой. Расстояние между двумя точками $x$ и $y$ вычисляется как модуль их разности, то есть $ |x - y| $.

Таким образом, нам нужно сравнить два значения: $ |\frac{a}{b} - 1| $ и $ |\frac{b}{a} - 1| $.

Проанализируем каждое расстояние отдельно, используя условие $ 0 < a < b $.

1. Расстояние от $ \frac{a}{b} $ до 1.
Поскольку $ a < b $ и оба числа положительны, то дробь $ \frac{a}{b} $ является правильной, то есть $ 0 < \frac{a}{b} < 1 $. Это означает, что число $ \frac{a}{b} $ находится на числовой оси левее 1, и разность $ \frac{a}{b} - 1 $ отрицательна.
Следовательно, модуль этой разности равен:
$ |\frac{a}{b} - 1| = -(\frac{a}{b} - 1) = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b - a}{b} $

2. Расстояние от $ \frac{b}{a} $ до 1.
Поскольку $ b > a $ и оба числа положительны, то дробь $ \frac{b}{a} $ является неправильной, то есть $ \frac{b}{a} > 1 $. Это означает, что число $ \frac{b}{a} $ находится на числовой оси правее 1, и разность $ \frac{b}{a} - 1 $ положительна.
Следовательно, модуль этой разности равен:
$ |\frac{b}{a} - 1| = \frac{b}{a} - 1 = \frac{b - a}{a} $

Теперь сравним полученные расстояния: $ \frac{b-a}{b} $ и $ \frac{b-a}{a} $.
Числители этих двух дробей одинаковы и равны $ b - a $. Так как по условию $ a < b $, то $ b - a > 0 $, то есть числитель положителен.
Знаменатели дробей — это $ b $ и $ a $. По условию $ 0 < a < b $.
Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Поскольку $ b > a $, получаем неравенство:
$ \frac{b-a}{b} < \frac{b-a}{a} $

Таким образом, $ |\frac{a}{b} - 1| < |\frac{b}{a} - 1| $. Это означает, что расстояние от числа $ \frac{a}{b} $ до 1 меньше, чем расстояние от числа $ \frac{b}{a} $ до 1. Следовательно, число $ \frac{a}{b} $ лежит ближе к 1.

Ответ: число $ \frac{a}{b} $ лежит ближе к 1.