Номер 1.55, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.55. Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа:

а) 75 625;

б) 614 656;

в) 31 104;

г) 216 000.

а) 75 625;

Чтобы определить, является ли данное число квадратом или кубом, проанализируем его свойства.

1. Проверка на квадрат. Число оканчивается на 5. Если натуральное число является полным квадратом и оканчивается на 5, то его корень также должен оканчиваться на 5, а само число — на 25. Данное число 75625 оканчивается на 25, что соответствует признаку. Число, стоящее перед 25, равно 756. Согласно свойству, оно должно быть произведением двух последовательных натуральных чисел, то есть иметь вид $n(n+1)$.

Проверим, существует ли такое натуральное $n$, что $n(n+1) = 756$. Так как $n^2 < n(n+1)$, то $n < \sqrt{756}$. Оценим корень: $20^2 = 400$, $30^2 = 900$. Значит, $n$ находится между 20 и 30. Проверим число, близкое к $\sqrt{756}$: $27^2 = 729$. Попробуем $n=27$. $27 \times (27+1) = 27 \times 28 = 756$. Условие выполняется. Следовательно, исходное число является квадратом числа, которое состоит из цифр $n=27$ и последней цифры 5. То есть, это квадрат числа 275. $75625 = 275^2$.

2. Проверка на куб. Если число является кубом и оканчивается на 5, то его корень также должен оканчиваться на 5. Оценим величину корня: $40^3 = 64000$, $50^3 = 125000$. Значит, если корень существует, он должен быть между 40 и 50 и оканчиваться на 5, то есть это 45. Проверим: $45^3 = 45 \times 45^2 = 45 \times 2025 = 91125$. Поскольку $91125 \neq 75625$, число не является кубом.

Ответ: является квадратом натурального числа ($275^2$).

б) 614 656;

1. Проверка на квадрат. Число оканчивается на 6. Если натуральное число является полным квадратом и оканчивается на 6, то его корень должен оканчиваться на 4 или 6. Оценим величину корня: $700^2 = 490000$, $800^2 = 640000$. Корень находится между 700 и 800, и ближе к 800. Проверим числа, оканчивающиеся на 4 или 6, которые меньше 800, например 784 или 786. Число 614656 немного больше, чем $780^2 = 608400$. Проверим $784^2$: $784^2 = (780 + 4)^2 = 780^2 + 2 \times 780 \times 4 + 4^2 = 608400 + 6240 + 16 = 614656$. Таким образом, $614656 = 784^2$.

2. Проверка на куб. Если число является кубом и оканчивается на 6, то его корень также должен оканчиваться на 6. Оценим величину корня: $80^3 = 512000$, $90^3 = 729000$. Если корень существует, он должен быть между 80 и 90 и оканчиваться на 6. Единственный кандидат — 86. Проверим: $86^3 = 86 \times 86^2 = 86 \times 7396 = 636056$. Поскольку $636056 \neq 614656$, число не является кубом.

Ответ: является квадратом натурального числа ($784^2$).

в) 31 104;

Для точного определения разложим число на простые множители. $31104 = 2 \times 15552 = 2^2 \times 7776 = 2^3 \times 3888 = 2^4 \times 1944 = 2^5 \times 972 = 2^6 \times 486 = 2^7 \times 243$. Теперь разложим 243. Сумма цифр $2+4+3=9$, значит, число делится на 9. $243 = 3 \times 81 = 3 \times 3^4 = 3^5$. Таким образом, разложение на простые множители имеет вид: $31104 = 2^7 \times 3^5$.

1. Проверка на квадрат. Чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. В данном случае показатели 7 и 5 — нечетные числа. Следовательно, число не является квадратом.

2. Проверка на куб. Чтобы число было полным кубом, все показатели степеней в его разложении должны быть кратны 3. Показатели 7 и 5 не делятся на 3. Следовательно, число не является кубом.

Ответ: не является ни квадратом, ни кубом натурального числа.

г) 216 000;

Представим число в виде произведения: $216000 = 216 \times 1000$.

1. Проверка на куб. Проанализируем каждый множитель: $216 = 6 \times 6 \times 6 = 6^3$. $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$. Тогда их произведение также является кубом: $216000 = 216 \times 1000 = 6^3 \times 10^3 = (6 \times 10)^3 = 60^3$. Следовательно, число является кубом натурального числа 60.

2. Проверка на квадрат. Полный квадрат не может оканчиваться на нечетное число нулей. Число 216 000 оканчивается на три нуля, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа. Более строго, разложим на простые множители: $216000 = 6^3 \times 10^3 = (2 \times 3)^3 \times (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 3^3 \times 2^3 \times 5^3 = 2^6 \times 3^3 \times 5^3$. Для полного квадрата все показатели степеней должны быть четными. Показатели 3 у простых множителей 3 и 5 — нечетные, значит, число не является квадратом.

Ответ: является кубом натурального числа ($60^3$).