Номер 1.53, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.53. С каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа:

а) $10!$;

б) $20!$;

в) $40!$;

г) $100!?$

Чтобы найти, с каким показателем простое число $p$ входит в разложение на простые множители числа $n!$, можно воспользоваться формулой Лежандра:

$E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{p} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{n}{p^3} \rfloor + \dots$

где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$). В данной задаче мы ищем показатель для простого числа $p=5$.

а) 10!

Для нахождения показателя, с которым число 5 входит в разложение $10!$, применим формулу Лежандра для $n=10$ и $p=5$:

$E_5(10!) = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{10}{5} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$

$\lfloor \frac{10}{25} \rfloor = \lfloor 0.4 \rfloor = 0$

Поскольку $5^2 > 10$, все последующие слагаемые в сумме будут равны нулю. Таким образом, искомый показатель равен:

$E_5(10!) = 2 + 0 = 2$

Ответ: 2

б) 20!

Применяем формулу Лежандра для $n=20$ и $p=5$:

$E_5(20!) = \lfloor \frac{20}{5} \rfloor + \lfloor \frac{20}{25} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{20}{5} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4$

$\lfloor \frac{20}{25} \rfloor = \lfloor 0.8 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(20!) = 4 + 0 = 4$

Ответ: 4

в) 40!

Применяем формулу Лежандра для $n=40$ и $p=5$:

$E_5(40!) = \lfloor \frac{40}{5} \rfloor + \lfloor \frac{40}{25} \rfloor + \lfloor \frac{40}{125} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{40}{5} \rfloor = \lfloor 8 \rfloor = 8$

$\lfloor \frac{40}{25} \rfloor = \lfloor 1.6 \rfloor = 1$

$\lfloor \frac{40}{125} \rfloor = \lfloor 0.32 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(40!) = 8 + 1 + 0 = 9$

Ответ: 9

г) 100!

Применяем формулу Лежандра для $n=100$ и $p=5$:

$E_5(100!) = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots$

Вычисляем слагаемые:

$\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = \lfloor 20 \rfloor = 20$

$\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = \lfloor 4 \rfloor = 4$

$\lfloor \frac{100}{125} \rfloor = \lfloor 0.8 \rfloor = 0$

Суммируя, получаем:

$E_5(100!) = 20 + 4 + 0 = 24$

Ответ: 24