Номер 1.49, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.49. Найдите НОД и НОК чисел:

а) $2^{32} \cdot 3^4 \cdot 11^{31}$ и $2^{23} \cdot 3^7 \cdot 11^{14}$;

б) $4^{24} \cdot 6^{14} \cdot 9^8$ и $8^{18} \cdot 10^{17} \cdot 12^{16}$.

а)

Пусть даны два числа: $A = 2^{32} \cdot 3^4 \cdot 11^{31}$ и $B = 2^{23} \cdot 3^7 \cdot 11^{14}$. Оба числа уже представлены в виде разложения на простые множители.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) необходимо взять произведение общих простых множителей, каждый из которых возведен в наименьшую из степеней, с которой он входит в разложения данных чисел.

Общие простые множители: 2, 3, 11. Выбираем наименьшие показатели для каждого множителя: для 2: $\min(32, 23) = 23$; для 3: $\min(4, 7) = 4$; для 11: $\min(31, 14) = 14$.

Таким образом, НОД($A, B$) = $2^{23} \cdot 3^4 \cdot 11^{14}$.

Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК) необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих в разложение хотя бы одного из чисел, причем каждый множитель берется с наибольшим из показателей, с которым он входит в разложения.

Простые множители: 2, 3, 11. Выбираем наибольшие показатели для каждого множителя: для 2: $\max(32, 23) = 32$; для 3: $\max(4, 7) = 7$; для 11: $\max(31, 14) = 31$.

Таким образом, НОК($A, B$) = $2^{32} \cdot 3^7 \cdot 11^{31}$.

Ответ: НОД = $2^{23} \cdot 3^4 \cdot 11^{14}$; НОК = $2^{32} \cdot 3^7 \cdot 11^{31}$.

б)

Пусть даны два числа: $C = 4^{24} \cdot 6^{14} \cdot 9^8$ и $D = 8^{18} \cdot 10^{17} \cdot 12^{16}$. Для нахождения НОД и НОК сначала необходимо представить эти числа в виде канонического разложения на простые множители.

Разложим первое число $C$: $C = (2^2)^{24} \cdot (2 \cdot 3)^{14} \cdot (3^2)^8 = 2^{2 \cdot 24} \cdot 2^{14} \cdot 3^{14} \cdot 3^{2 \cdot 8} = 2^{48} \cdot 2^{14} \cdot 3^{14} \cdot 3^{16} = 2^{48+14} \cdot 3^{14+16} = 2^{62} \cdot 3^{30}$.

Разложим второе число $D$: $D = (2^3)^{18} \cdot (2 \cdot 5)^{17} \cdot (2^2 \cdot 3)^{16} = 2^{3 \cdot 18} \cdot (2^{17} \cdot 5^{17}) \cdot (2^{2 \cdot 16} \cdot 3^{16}) = 2^{54} \cdot 2^{17} \cdot 5^{17} \cdot 2^{32} \cdot 3^{16} = 2^{54+17+32} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17} = 2^{103} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17}$.

Теперь мы имеем канонические разложения: $C = 2^{62} \cdot 3^{30}$ и $D = 2^{103} \cdot 3^{16} \cdot 5^{17}$.

Находим НОД, взяв общие множители (2 и 3) с наименьшими показателями: для 2: $\min(62, 103) = 62$; для 3: $\min(30, 16) = 16$.

НОД($C, D$) = $2^{62} \cdot 3^{16}$.

Находим НОК, взяв все множители (2, 3, 5) с наибольшими показателями: для 2: $\max(62, 103) = 103$; для 3: $\max(30, 16) = 30$; для 5: $\max(0, 17) = 17$ (в разложении числа $C$ множитель 5 можно представить как $5^0$).

НОК($C, D$) = $2^{103} \cdot 3^{30} \cdot 5^{17}$.

Ответ: НОД = $2^{62} \cdot 3^{16}$; НОК = $2^{103} \cdot 3^{30} \cdot 5^{17}$.