Номер 1.50, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.50. Составьте разложение на простые множители числа:

а) 504;

б) 8281;

в) 108 000;

г) 12321.

а) Разложим число 504 на простые множители. Для этого будем последовательно делить его на наименьшие простые числа.

1. Число 504 четное, так как оканчивается на 4. Делим его на 2:
$504 : 2 = 252$

2. Полученное число 252 также четное. Снова делим на 2:
$252 : 2 = 126$

3. Число 126 четное. Делим на 2:
$126 : 2 = 63$

4. Число 63 нечетное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа $6+3=9$, 9 делится на 3, значит и 63 делится на 3:
$63 : 3 = 21$

5. Число 21 также делится на 3:
$21 : 3 = 7$

6. Число 7 является простым. Деление закончено.

Собираем все множители вместе: $504 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7$. Запишем в виде степеней: $504 = 2^3 \times 3^2 \times 7$.

Ответ: $2^3 \times 3^2 \times 7$

б) Разложим число 8281 на простые множители.

1. Число нечетное, на 2 не делится. Сумма цифр $8+2+8+1=19$, на 3 не делится. На 5 не делится. Проверим делимость на 7 (удвоенная последняя цифра вычитается из числа без последней цифры): $828 - 2 \times 1 = 826$. Повторим: $82 - 2 \times 6 = 70$. Так как 70 делится на 7, то и 8281 делится на 7.
$8281 : 7 = 1183$

2. Проверим, делится ли 1183 на 7: $118 - 2 \times 3 = 112$. Повторим: $11 - 2 \times 2 = 7$. Так как 7 делится на 7, то и 1183 делится на 7.
$1183 : 7 = 169$

3. Число 169 является квадратом простого числа 13:
$169 = 13 \times 13 = 13^2$

Собираем множители: $8281 = 7 \times 7 \times 13 \times 13$. Запишем в виде степеней: $8281 = 7^2 \times 13^2$.

Ответ: $7^2 \times 13^2$

в) Разложим число 108 000 на простые множители.

1. Представим число как произведение:
$108\;000 = 108 \times 1000$

2. Разложим каждый множитель отдельно. Начнем с 1000:
$1000 = 10^3 = (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$

3. Теперь разложим 108:
$108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$

4. Объединим разложения:
$108\;000 = (2^2 \times 3^3) \times (2^3 \times 5^3)$

5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$108\;000 = 2^{2+3} \times 3^3 \times 5^3 = 2^5 \times 3^3 \times 5^3$

Ответ: $2^5 \times 3^3 \times 5^3$

г) Разложим число 12321 на простые множители.

1. Проверим делимость на простые числа. Число нечетное. Сумма цифр $1+2+3+2+1=9$, 9 делится на 3, значит и число делится на 3:
$12321 : 3 = 4107$

2. Проверим делимость 4107 на 3. Сумма цифр $4+1+0+7=12$, 12 делится на 3, значит и число делится на 3:
$4107 : 3 = 1369$

3. Теперь нужно разложить число 1369. Оно не делится на 2, 3, 5. Проверим следующие простые числа. Можно заметить, что число оканчивается на 9, поэтому если оно является квадратом, то его корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим число 37:
$37 \times 37 = 1369$

4. Число 37 является простым.

Собираем все множители вместе: $12321 = 3 \times 3 \times 37 \times 37$. Запишем в виде степеней: $12321 = 3^2 \times 37^2$.

Ответ: $3^2 \times 37^2$