Номер 1.57, страница 27, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению:

1.57. a) $2y - x = 15;$

б) $6x - y = 25;$

в) $7x + 4y = 123;$

г) $5x - 7y = 23.$

а) 2y - x = 15;

Это линейное диофантово уравнение. Проще всего выразить одну переменную через другую. Выразим $x$ через $y$:

$x = 2y - 15$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, мы видим, что для любого целого значения $y$ значение $x$ также будет целым. Мы можем задать все решения, используя целочисленный параметр. Пусть $y = n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $x = 2n - 15$.

Таким образом, все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющие данному уравнению, имеют вид $(2n - 15; n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(2n - 15; n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) 6x - y = 25;

Аналогично предыдущему пункту, выразим $y$ через $x$:

$y = 6x - 25$

Для любого целого значения $x$ значение $y$ также будет целым. Пусть $x = n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Тогда $y = 6n - 25$.

Следовательно, все решения можно записать в виде пар $(n; 6n - 25)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(n; 6n - 25)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) 7x + 4y = 123;

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$. Так как наибольший общий делитель коэффициентов при $x$ и $y$ равен $НОД(7, 4) = 1$, а 1 делит 123, уравнение имеет решения в целых числах.

Выразим переменную с меньшим по модулю коэффициентом. В данном случае это $y$.

$4y = 123 - 7x$

$y = \frac{123 - 7x}{4}$

Чтобы $y$ был целым, выражение $123 - 7x$ должно делиться на 4. Разложим числитель для удобства:

$y = \frac{120 + 3 - (8x - x)}{4} = \frac{120 - 8x + 3 + x}{4} = 30 - 2x + \frac{3 + x}{4}$

Для того чтобы $y$ был целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{3+x}{4}$ была целым числом. Обозначим это целое число через $n$:

$\frac{3+x}{4} = n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда выразим $x$:

$3 + x = 4n$

$x = 4n - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$:

$7(4n - 3) + 4y = 123$

$28n - 21 + 4y = 123$

$4y = 144 - 28n$

$y = 36 - 7n$

Итак, все пары целых чисел, являющиеся решениями, имеют вид $(4n - 3; 36 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(4n - 3; 36 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г) 5x - 7y = 23;

$НОД(5, 7) = 1$, поэтому уравнение имеет решения в целых числах. Выразим $x$ через $y$:

$5x = 23 + 7y$

$x = \frac{23 + 7y}{5}$

Разложим числитель, чтобы выделить целую часть:

$x = \frac{20 + 3 + 5y + 2y}{5} = 4 + y + \frac{3 + 2y}{5}$

Чтобы $x$ был целым, выражение $\frac{3+2y}{5}$ должно быть целым числом. Пусть:

$\frac{3+2y}{5} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$3 + 2y = 5k$

$2y = 5k - 3$

$y = \frac{5k - 3}{2}$

Теперь мы получили новое условие: $y$ должен быть целым, значит, $5k - 3$ должно быть четным. Это равносильно тому, что $5k$ должен быть нечетным, а значит, $k$ должен быть нечетным.

Представим нечетное число $k$ в виде $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим это в выражение для $y$:

$y = \frac{5(2n + 1) - 3}{2} = \frac{10n + 5 - 3}{2} = \frac{10n + 2}{2} = 5n + 1$

Теперь найдем $x$, подставив выражения для $y$ и $k$ в формулу для $x$:

$x = 4 + y + k = 4 + (5n + 1) + (2n + 1) = 7n + 6$

Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид $(7n + 6; 5n + 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(7n + 6; 5n + 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.