Страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Какие вы знаете свойства отношения делимости на множестве натуральных чисел?

Отношение делимости на множестве натуральных чисел $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $ (обозначается как $a \vdots b$, читается как "a делится на b") обладает следующими ключевыми свойствами. По определению, $a \vdots b$ тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $k$, что $a = b \cdot k$.

Рефлексивность

Любое натуральное число делится само на себя. Формально, для любого $a \in \mathbb{N}$ выполняется $a \vdots a$. Это свойство следует непосредственно из определения делимости, так как для любого натурального $a$ справедливо равенство $a = a \cdot 1$, а число 1 является натуральным.
Ответ: Отношение делимости рефлексивно.

Антисимметричность

Если первое натуральное число $a$ делится на второе натуральное число $b$, и одновременно $b$ делится на $a$, то эти числа равны. Формально, для любых $a, b \in \mathbb{N}$, если $a \vdots b$ и $b \vdots a$, то из этого следует, что $a = b$.
Доказательство: Если $a \vdots b$, то по определению существует $k \in \mathbb{N}$ такое, что $a = k \cdot b$. Если $b \vdots a$, то существует $m \in \mathbb{N}$ такое, что $b = m \cdot a$. Подставим второе равенство в первое: $a = k \cdot (m \cdot a) = (k \cdot m) \cdot a$. Поскольку $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), мы можем разделить обе части равенства на $a$, что дает $1 = k \cdot m$. Так как $k$ и $m$ — натуральные числа, их произведение может быть равно 1 только в том случае, если $k=1$ и $m=1$. Из условия $a = k \cdot b$ при $k=1$ получаем $a=b$.
Ответ: Отношение делимости антисимметрично.

Транзитивность

Если число $a$ делится на число $b$, а число $b$ в свою очередь делится на число $c$, то число $a$ также делится на число $c$. Формально, для любых $a, b, c \in \mathbb{N}$, если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$.
Доказательство: Если $a \vdots b$, то $a = k \cdot b$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$. Если $b \vdots c$, то $b = m \cdot c$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. Подставим выражение для $b$ из второго равенства в первое: $a = k \cdot (m \cdot c) = (k \cdot m) \cdot c$. Произведение натуральных чисел $p = k \cdot m$ также является натуральным числом. Таким образом, мы имеем $a = p \cdot c$, где $p \in \mathbb{N}$, что по определению означает $a \vdots c$.
Ответ: Отношение делимости транзитивно.

Свойство частичного порядка

Совокупность трех вышеуказанных свойств (рефлексивности, антисимметричности и транзитивности) означает, что отношение делимости является отношением частичного порядка на множестве натуральных чисел. Это значит, что оно упорядочивает натуральные числа, но не все пары чисел сравнимы между собой (например, 3 не делится на 5, и 5 не делится на 3).
Ответ: Отношение делимости на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.

Делимость суммы и разности

Если два натуральных числа $a$ и $b$ делятся на число $c$, то их сумма и разность также делятся на $c$ (для разности предполагается, что она является натуральным числом, т.е. $a>b$).
Доказательство: Пусть $a \vdots c$ и $b \vdots c$. Это значит, что существуют натуральные числа $k$ и $m$ такие, что $a = k \cdot c$ и $b = m \cdot c$. Тогда их сумма равна $a+b = k \cdot c + m \cdot c = (k+m) \cdot c$. Поскольку $k+m$ — натуральное число, то $(a+b) \vdots c$. Аналогично для разности: $a-b = k \cdot c - m \cdot c = (k-m) \cdot c$. При $a>b$ имеем $k>m$, поэтому $k-m$ — натуральное число, и, следовательно, $(a-b) \vdots c$.
Ответ: Если каждое из двух слагаемых делится на некоторое число, то и их сумма (и разность) делится на это число.

Делимость произведения

Если в произведении натуральных чисел хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Формально, если $a \vdots c$, то для любого натурального числа $b$ произведение $(a \cdot b) \vdots c$.
Доказательство: Если $a \vdots c$, значит $a = k \cdot c$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$. Умножим обе части на $b$: $a \cdot b = (k \cdot c) \cdot b = c \cdot (k \cdot b)$. Так как $k$ и $b$ — натуральные числа, их произведение $k \cdot b$ также является натуральным числом. Следовательно, по определению, $(a \cdot b) \vdots c$.
Ответ: Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Свойства единицы

Число 1 играет особую роль в отношении делимости, являясь наименьшим элементом в множестве натуральных чисел относительно этого порядка.
1. Любое натуральное число $a$ делится на 1 ($a \vdots 1$), поскольку всегда верно равенство $a = a \cdot 1$.
2. Число 1 делится только на само себя. Если $1 \vdots a$ для натурального $a$, то из равенства $1 = k \cdot a$ (где $k \in \mathbb{N}$) следует, что $a=1$ и $k=1$.
Ответ: Любое натуральное число делится на 1, а 1 делится только на 1.

3. Докажите, что если $a : b_1$ и $c : b_2$, то $ac : b_1 b_2$.

3.

Для доказательства воспользуемся определением делимости. Если число $a$ делится на число $b_1$ (запись $a \vdots b_1$), то существует такое целое число $k_1$, для которого выполняется равенство $a = k_1 \cdot b_1$. Аналогично, если $c \vdots b_2$, то существует целое число $k_2$, для которого $c = k_2 \cdot b_2$.

Рассмотрим произведение $ac$. Подставим в него выражения для $a$ и $c$, полученные из определения делимости:
$ac = (k_1 \cdot b_1) \cdot (k_2 \cdot b_2)$

Используя коммутативное (переместительное) и ассоциативное (сочетательное) свойства умножения, мы можем перегруппировать множители:
$ac = (k_1 \cdot k_2) \cdot (b_1 \cdot b_2)$

Произведение целых чисел $k_1$ и $k_2$ также является целым числом. Обозначим это число через $k$, то есть $k = k_1 \cdot k_2$. Тогда равенство можно записать в виде:
$ac = k \cdot (b_1 b_2)$

Данное равенство по определению означает, что произведение $ac$ делится нацело на произведение $b_1 b_2$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

4. Докажите, что если $a:b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac:bc$. Сформулируйте и докажите обратную теорему.

Докажите, что если $a \vdots b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac \vdots bc$

Пусть даны натуральные числа $a, b, c \in \mathbb{N}$.

Условие "$a$ делится на $b$", или $a \vdots b$, означает, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = b \cdot k$

Нам необходимо доказать, что $ac$ делится на $bc$, то есть что существует такое целое число $m$, для которого $ac = (bc) \cdot m$.

Возьмем исходное равенство $a = b \cdot k$ и умножим обе его части на натуральное число $c$: $a \cdot c = (b \cdot k) \cdot c$

Используя сочетательное свойство умножения, мы можем перегруппировать множители в правой части равенства: $ac = (b \cdot c) \cdot k$

Мы представили произведение $ac$ в виде произведения $bc$ на натуральное число $k$. Это полностью соответствует определению делимости. Следовательно, $ac$ делится на $bc$ нацело.

Ответ: Утверждение доказано.

Сформулируйте и докажите обратную теорему

Формулировка обратной теоремы: Если для натуральных чисел $a, b, c$ произведение $ac$ делится нацело на произведение $bc$, то число $a$ делится нацело на число $b$. Формально: если $a, b, c \in \mathbb{N}$ и $ac \vdots bc$, то $a \vdots b$.

Доказательство обратной теоремы: Нам дано, что $a, b, c$ — натуральные числа и $ac \vdots bc$.

По определению делимости, существует такое натуральное число $k$, для которого выполняется равенство: $ac = (bc) \cdot k$

Поскольку $c$ является натуральным числом, оно отлично от нуля ($c \neq 0$). Это позволяет нам разделить обе части равенства на $c$: $\frac{ac}{c} = \frac{(bc)k}{c}$

После сокращения дробей на $c$ мы получаем: $a = b \cdot k$

Полученное равенство, согласно определению делимости, означает, что число $a$ делится нацело на число $b$. Теорема доказана.

Ответ: Обратная теорема сформулирована и доказана. Формулировка: если для натуральных чисел $a, b, c$ выполняется $ac \vdots bc$, то $a \vdots b$.

5. Докажите, что если $a:b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac:b$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением делимости чисел.

Доказательство:

По условию задачи нам дано, что число $a$ делится нацело на число $b$. Обозначение $a \vdots b$ как раз это и означает. Также дано, что $a, b$ и $c$ являются натуральными числами ($a, b, c \in \mathbb{N}$).

Согласно определению делимости, если $a \vdots b$, то существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство:

$a = b \cdot k$

Нам необходимо доказать, что произведение $ac$ также делится нацело на $b$, то есть $ac \vdots b$. Для этого нужно показать, что существует такое натуральное число $m$, для которого будет справедливо равенство:

$ac = b \cdot m$

Рассмотрим произведение $ac$. Подставим в него выражение для $a$ из первого шага ($a = b \cdot k$):

$ac = (b \cdot k) \cdot c$

Используя ассоциативное свойство умножения (которое гласит, что $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$), мы можем перегруппировать множители:

$ac = b \cdot (k \cdot c)$

Теперь обозначим произведение $k \cdot c$ новой переменной $m$. То есть, $m = k \cdot c$.

Так как $k$ является натуральным числом (поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа и $a$ делится на $b$) и $c$ также является натуральным числом (по условию задачи), то их произведение $m = k \cdot c$ тоже будет натуральным числом ($m \in \mathbb{N}$).

Подставив $m$ в наше равенство, получаем:

$ac = b \cdot m$

Мы показали, что произведение $ac$ можно представить в виде произведения числа $b$ на некоторое натуральное число $m$. Это, по определению, означает, что $ac$ делится нацело на $b$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что если $a \vdots b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac \vdots b$, доказано.

6. Сформулируйте признак делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 18, 36, 45.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 без остатка (является четным), если его последняя цифра четная, то есть равна 0, 2, 4, 6 или 8.

Обоснование: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 10a + b$, где $b$ — это последняя цифра числа. Поскольку слагаемое $10a$ всегда делится на 2, делимость всего числа $N$ на 2 зависит только от делимости последней цифры $b$.

Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Обоснование: Этот признак следует из свойств сравнений по модулю. Поскольку $10 \equiv 1 \pmod{3}$, то любая степень десяти также сравнима с 1 по модулю 3: $10^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{3}$. Поэтому число $N = d_k 10^k + \dots + d_1 10 + d_0$ делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр $S = d_k + \dots + d_1 + d_0$.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Обоснование: Любое число $N$ можно представить в виде $N = 100a + b$, где $b$ — число, состоящее из двух последних цифр числа $N$. Так как 100 делится на 4, то слагаемое $100a$ всегда делится на 4. Следовательно, делимость числа $N$ на 4 зависит только от делимости числа $b$.

Ответ: Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Обоснование: Аналогично признаку делимости на 2, представим число в виде $N = 10a + b$. Слагаемое $10a$ всегда делится на 5, поэтому делимость $N$ на 5 зависит только от последней цифры $b$. Из однозначных чисел на 5 делятся только 0 и 5.

Ответ: Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

Обоснование: Так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми, для делимости на 6 необходимо и достаточно, чтобы число делилось на каждый из этих множителей. Это значит, что число должно быть четным и сумма его цифр должна делиться на 3.

Ответ: Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Обоснование: Любое число $N$ можно представить как $N = 1000a + b$, где $b$ — число из трех последних цифр. Так как 1000 делится на 8 ($1000 = 8 \times 125$), то $1000a$ всегда делится на 8. Значит, делимость $N$ на 8 зависит только от делимости $b$.

Ответ: Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Обоснование: Обоснование аналогично признаку делимости на 3. Поскольку $10 \equiv 1 \pmod{9}$, то $10^k \equiv 1 \pmod{9}$. Поэтому число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 12

Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.

Обоснование: Число 12 можно разложить на взаимно простые множители: $12 = 3 \times 4$. Следовательно, чтобы число делилось на 12, оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 (сумма цифр делится на 3) и на 4 (число из двух последних цифр делится на 4).

Ответ: Число делится на 12, если сумма его цифр делится на 3, а число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Обоснование: Поскольку $18 = 2 \times 9$, и числа 2 и 9 взаимно простые, число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 (четное) и на 9 (сумма цифр делится на 9).

Ответ: Число делится на 18, если оно четное и сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 36

Число делится на 36, если оно одновременно делится на 4 и на 9.

Обоснование: Число 36 является произведением взаимно простых чисел $36 = 4 \times 9$. Таким образом, для делимости на 36 необходимо, чтобы число делилось и на 4, и на 9.

Ответ: Число делится на 36, если сумма его цифр делится на 9, а число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 45

Число делится на 45, если оно одновременно делится на 5 и на 9.

Обоснование: Разложим 45 на взаимно простые множители: $45 = 5 \times 9$. Следовательно, число делится на 45, если оно делится на 5 (оканчивается на 0 или 5) и делится на 9 (сумма его цифр делится на 9).

Ответ: Число делится на 45, если оно оканчивается на 0 или 5 и при этом сумма его цифр делится на 9.

7. Что такое простое число? Что такое составное число?

Что такое простое число?

Простое число — это натуральное число (то есть целое положительное число), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Другими словами, если число $p$ является простым, то оно делится без остатка только на 1 и на $p$.

Например, число 2 — простое, так как оно делится только на 1 и 2. Это единственное четное простое число. Число 3 — простое, его делители — 1 и 3. Число 5 — простое, его делители — 1 и 5. Первые несколько простых чисел в ряду натуральных чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Важно отметить, что число 1 не является простым, так как у него только один натуральный делитель — сама единица. Для того чтобы число было простым, оно должно иметь ровно два различных делителя.

Ответ: Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится только на 1 и на само себя.

Что такое составное число?

Составное число — это натуральное число, которое больше 1 и не является простым. Это означает, что составное число имеет более двух различных натуральных делителей. Иными словами, помимо 1 и самого себя, у составного числа есть хотя бы еще один делитель.

Например, число 4 — составное, так как его делители — 1, 2, 4 (у него три делителя). Число 6 — составное, его делители — 1, 2, 3, 6. Число 9 — составное, его делители — 1, 3, 9. Любое составное число можно представить в виде произведения двух или более натуральных чисел, каждое из которых больше 1. Например, $12 = 2 \cdot 6$ или $12 = 3 \cdot 4$.

Число 1, как и в случае с простыми числами, не является составным. Таким образом, все натуральные числа больше 1 делятся на две категории: простые и составные.

Ответ: Составное число — это натуральное число больше единицы, которое имеет другие делители, кроме 1 и самого себя.

8. Может ли расстояние между двумя соседними простыми числами быть равным 2, 4, 6? Приведите примеры. Может ли это расстояние быть больше 2017?

Может ли расстояние между двумя соседними простыми числами быть равным 2, 4, 6? Приведите примеры.

Да, расстояние (разность) между двумя соседними простыми числами может быть равно 2, 4 и 6. Соседние простые числа — это два простых числа, между которыми нет других простых чисел.

1. Расстояние 2:
Пары простых чисел, отличающихся на 2, называют "простыми-близнецами".
Пример: Числа 3 и 5 являются соседними простыми числами. Разность между ними: $5 - 3 = 2$. Другие примеры: (5, 7), (11, 13), (17, 19).

2. Расстояние 4:
Пример: Числа 7 и 11 являются соседними простыми числами (числа 8, 9, 10 между ними — составные). Разность между ними: $11 - 7 = 4$. Другой пример: (13, 17).

3. Расстояние 6:
Пример: Числа 23 и 29 являются соседними простыми числами (числа 24, 25, 26, 27, 28 между ними — составные). Разность между ними: $29 - 23 = 6$. Другой пример: (31, 37).

Ответ: Да, может. Примеры: (3, 5) для расстояния 2; (7, 11) для расстояния 4; (23, 29) для расстояния 6.

Может ли это расстояние быть больше 2017?

Да, расстояние между двумя соседними простыми числами может быть сколь угодно большим, а значит, может быть и больше 2017.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что можно найти последовательность составных чисел любой заданной длины. Если мы найдем последовательность из 2017 подряд идущих составных чисел, то разрыв между простым числом, стоящим до этой последовательности, и простым числом, стоящим после нее, будет как минимум $2017 + 1 = 2018$, что больше 2017.

Рассмотрим следующую последовательность из 2017 чисел, построенную с использованием факториала. Пусть $n = 2018$. Тогда рассмотрим числа:
$2018! + 2$
$2018! + 3$
$2018! + 4$
...
$2018! + 2018$

Каждое число в этой последовательности является составным. Проверим это:
- Число $2018! + 2$ делится на 2, так как $2018!$ (произведение всех целых чисел от 1 до 2018) делится на 2, и второе слагаемое (2) тоже делится на 2.
- Число $2018! + 3$ делится на 3, так как $2018!$ делится на 3, и второе слагаемое (3) тоже делится на 3.
- В общем виде, для любого целого $k$ такого, что $2 \le k \le 2018$, число $2018! + k$ будет делиться на $k$. Так как $2018!$ содержит $k$ в качестве множителя, оно делится на $k$. Второе слагаемое, $k$, очевидно, тоже делится на $k$. Значит, и вся сумма делится на $k$.

Поскольку каждое из этих чисел делится на число, большее 1 и меньшее самого себя, все 2017 чисел в последовательности от $2018! + 2$ до $2018! + 2018$ являются составными. Это создает "промежуток" длиной не менее 2017 между простыми числами.

Ответ: Да, может.

9. Конечно или бесконечно множество простых чисел? Конечно или бесконечно множество составных чисел?

Конечно или бесконечно множество простых чисел?

Множество простых чисел является бесконечным. Это одна из фундаментальных теорем теории чисел, доказанная ещё Евклидом. Его доказательство является классическим примером метода "от противного".

1. Предположим, что множество простых чисел конечно. Это значит, что существует самое большое простое число, и мы можем составить полный список всех простых чисел: $p_1, p_2, p_3, \dots, p_n$.

2. Теперь рассмотрим число $P$, равное произведению всех этих простых чисел плюс единица:

$P = (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_n) + 1$

3. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 либо само является простым, либо делится на какое-либо простое число.

4. Наше число $P$ больше 1. Однако при делении $P$ на любое простое число из нашего списка ($p_1, p_2, \dots, p_n$) в остатке всегда будет 1. Это означает, что $P$ не делится ни на одно из известных нам простых чисел.

5. Из этого следует два возможных вывода:

а) Либо $P$ само является простым числом. Но его нет в нашем списке, так как оно очевидно больше любого числа из списка.

б) Либо $P$ является составным числом. Но тогда оно должно делиться на какое-то простое число, которого опять же нет в нашем списке.

Оба вывода приводят к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что список $p_1, p_2, \dots, p_n$ содержит все простые числа. Следовательно, это предположение было неверным.

Ответ: Множество простых чисел бесконечно.

Конечно или бесконечно множество составных чисел?

Множество составных чисел также является бесконечным. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя).

Доказать бесконечность этого множества очень просто. Для этого достаточно найти бесконечную последовательность, все члены которой являются составными числами.

Например, рассмотрим множество всех чётных чисел, больших 2. Любое такое число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число, большее 1. Все числа этой последовательности ($4, 6, 8, 10, 12, \dots$) по определению делятся на 2 и на $k$, а значит, являются составными.

Поскольку существует бесконечно много целых чисел $k > 1$, то и множество таких составных чисел бесконечно.

Другой пример — последовательность чисел вида $n \times m$, где $n$ и $m$ — любые целые числа больше 1. Например, для $n=4$: $4 \times 2=8, 4 \times 3=12, 4 \times 4=16, \dots$ — все эти числа являются составными. Так как мы можем взять бесконечно много значений для $m$, эта последовательность также бесконечна.

Ответ: Множество составных чисел бесконечно.

10. Сформулируйте теорему о делении с остатком.

Теорема о делении с остатком (также известная как алгоритм деления) утверждает, что для любых двух целых чисел a (делимое) и b (делитель), при условии, что $b \ne 0$, существует единственная пара

11. Запишите общий вид натуральных чисел, которые при делении на 15 дают в остатке 11.

Пусть $a$ — искомое натуральное число. Согласно теореме о делении с остатком, любое целое число $a$ можно представить в виде $a = b \cdot q + r$, где $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток. При этом остаток должен удовлетворять условию $0 \le r < b$.

В нашей задаче делитель $b = 15$, а остаток $r = 11$. Условие $0 \le 11 < 15$ выполняется.

Подставим эти значения в формулу, чтобы получить общий вид искомых чисел: $a = 15 \cdot q + 11$.

По условию, мы ищем натуральные числа, то есть $a \ge 1$. Это означает, что $15 \cdot q + 11 \ge 1$. Решим это неравенство относительно $q$: $15q \ge 1 - 11$ $15q \ge -10$ $q \ge -\frac{10}{15}$ $q \ge -\frac{2}{3}$

Поскольку неполное частное $q$ является целым числом, наименьшее целое значение, удовлетворяющее условию $q \ge -\frac{2}{3}$, это $q=0$. Таким образом, $q$ может быть любым целым неотрицательным числом ($q = 0, 1, 2, 3, \dots$).

Для записи общего вида чисел принято использовать переменную $k$ (или $n$) вместо $q$. Заменив $q$ на $k$, получаем итоговую формулу.

Ответ: Общий вид таких чисел: $15k + 11$, где $k$ — любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

12. Что такое наибольший общий делитель двух натуральных чисел? Найдите $ \text{НОД}(72; 108) $.

Что такое наибольший общий делитель двух натуральных чисел?

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, на которое оба исходных числа делятся без остатка (нацело). Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа 1, 2, 3 и 6. Наибольшим из этих общих делителей является 6, поэтому НОД(12; 18) = 6.

Ответ: Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел — это самое большое натуральное число, которое делит каждое из этих чисел без остатка.

Найдите НОД(72; 108).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 72 и 108, необходимо разложить оба числа на простые множители, а затем найти произведение их общих множителей, взятых в наименьшей степени.

1. Разложим число 72 на простые множители:
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Таким образом, разложение числа 72: $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$.

2. Разложим число 108 на простые множители:
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1 |
Таким образом, разложение числа 108: $108 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^3$.

3. Выделим общие множители в наименьших степенях из обоих разложений.
Разложения чисел: $72 = 2^3 \cdot 3^2$ и $108 = 2^2 \cdot 3^3$.
Общие простые множители — это 2 и 3.
Наименьшая степень для множителя 2 — это $2^2$.
Наименьшая степень для множителя 3 — это $3^2$.

4. Перемножим найденные степени общих множителей для нахождения НОД:
НОД(72; 108) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Ответ: 36.

13. Что такое наименьшее общее кратное двух натуральных чисел? Найдите $НОК(72; 15)$.

Что такое наименьшее общее кратное двух натуральных чисел?
Наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ называется самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел ($a$ и $b$) без остатка.
Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим пример. Найдем НОК для чисел 4 и 6.
Сначала выпишем несколько первых кратных для каждого числа (числа, которые делятся на данное число):
Кратные для 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Кратные для 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Общими кратными для 4 и 6 являются числа, которые есть в обоих списках: 12, 24, и так далее. Самое маленькое (наименьшее) из них — это 12.
Следовательно, $НОК(4; 6) = 12$.
Ответ: Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Найдите НОК(72; 15).
Для нахождения наименьшего общего кратного чисел 72 и 15 удобно использовать метод разложения на простые множители.
1. Разложим каждое число на простые множители:
Для числа 72:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
Для числа 15:
$15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$
2. Теперь, чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях (в нашем случае это 2, 3 и 5), и взять каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.
- Для множителя 2 наибольшая степень — 3 (из разложения числа 72: $2^3$).
- Для множителя 3 наибольшая степень — 2 (из разложения числа 72: $3^2$).
- Для множителя 5 наибольшая степень — 1 (из разложения числа 15: $5^1$).
3. Перемножим эти множители в их наибольших степенях:
$НОК(72; 15) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Ответ: 360.

14. Каким соотношением связаны между собой три числа: $ab$, $\text{НОД}(a; b)$ и $\text{НОК}(a; b)$?

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальное соотношение, связывающее их произведение $a \cdot b$, их наибольший общий делитель (НОД) и их наименьшее общее кратное (НОК). Это соотношение гласит, что произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих этих чисел.

Математически это выражается следующей формулой:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$

Эта формула и является искомым соотношением, связывающим три величины: $ab$, $НОД(a; b)$ и $НОК(a; b)$.

Доказательство:

Доказательство этого утверждения удобно провести, используя каноническое разложение чисел на простые множители. Пусть даны два натуральных числа $a$ и $b$. Представим их в виде произведения простых чисел:

$a = p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n}$

$b = p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{y_n}$

Здесь $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — это все простые делители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел $a$ или $b$, а $x_i, y_i$ — неотрицательные целые показатели степеней (если какой-то простой делитель не входит в разложение числа, соответствующий показатель равен 0).

По определению, наибольший общий делитель находится путем взятия минимальных степеней для каждого простого множителя:

$НОД(a; b) = p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\min(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n)}$

А наименьшее общее кратное — путем взятия максимальных степеней:

$НОК(a; b) = p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot p_2^{\max(x_2, y_2)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(x_n, y_n)}$

Теперь перемножим НОД и НОК:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = (p_1^{\min(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n)}) \cdot (p_1^{\max(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\max(x_n, y_n)})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = p_1^{\min(x_1, y_1) + \max(x_1, y_1)} \cdot \ldots \cdot p_n^{\min(x_n, y_n) + \max(x_n, y_n)}$

Для любых двух чисел $x$ и $y$ справедливо тождество: $\min(x, y) + \max(x, y) = x + y$. Применим это свойство к показателям степеней:

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = p_1^{x_1+y_1} \cdot p_2^{x_2+y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+y_n}$

Теперь рассмотрим произведение самих чисел $a$ и $b$:

$a \cdot b = (p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n}) \cdot (p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{y_n}) = p_1^{x_1+y_1} \cdot p_2^{x_2+y_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+y_n}$

Сравнивая два полученных выражения, мы видим, что они идентичны. Таким образом, доказано, что $НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$.

Пример:

Возьмем числа $a = 12$ и $b = 18$.

Разложим их на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3^1$

$18 = 2^1 \cdot 3^2$

Найдем НОД и НОК:

$НОД(12; 18) = 2^{\min(2,1)} \cdot 3^{\min(1,2)} = 2^1 \cdot 3^1 = 6$

$НОК(12; 18) = 2^{\max(2,1)} \cdot 3^{\max(1,2)} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Теперь проверим соотношение:

Произведение чисел $a$ и $b$: $12 \cdot 18 = 216$.

Произведение НОД и НОК: $6 \cdot 36 = 216$.

Как видим, $216 = 216$, что подтверждает справедливость формулы.

Ответ: Три числа $ab$, $НОД(a; b)$ и $НОК(a; b)$ связаны соотношением $НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$.

15. Что такое взаимно простые числа?

Взаимно простые числа — это натуральные или целые числа, у которых нет общих положительных делителей, кроме единицы. Иначе говоря, их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Формально, два целых числа a и b называются взаимно простыми, если выполняется условие: $НОД(a, b) = 1$.

Важно отметить, что взаимно простые числа не обязательно должны быть простыми сами по себе. Они могут быть и составными, как показано в примере ниже.

Пример 1: Взаимно простые числа
Рассмотрим числа 9 и 14. Оба являются составными.
Делители числа 9: {1, 3, 9}.
Делители числа 14: {1, 2, 7, 14}.
Единственный общий положительный делитель у этих чисел — это 1. Таким образом, $НОД(9, 14) = 1$, что означает, что числа 9 и 14 являются взаимно простыми.

Пример 2: Числа, не являющиеся взаимно простыми
Рассмотрим числа 12 и 20.
Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Делители числа 20: {1, 2, 4, 5, 10, 20}.
Общие делители этих чисел: {1, 2, 4}. Наибольший из них — 4.
Поскольку $НОД(12, 20) = 4$, а это не равно 1, то числа 12 и 20 не являются взаимно простыми.

Существуют и другие интересные свойства: например, два различных простых числа всегда взаимно просты (как 5 и 11), число 1 взаимно просто с любым целым числом, а также любые два последовательных натуральных числа всегда взаимно просты (как 24 и 25).

Ответ: Взаимно простые числа — это целые числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

16. Известно, что числа $a$ и $b$ — взаимно простые. Найдите $\text{НОД}(a; b)$ и $\text{НОК}(a; b)$.

НОД(a; b)

По определению, два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. В условии задачи сказано, что числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми. Следовательно, их единственный общий положительный делитель — это 1.

Ответ: $НОД(a; b) = 1$.

НОК(a; b)

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ существует фундаментальное свойство, связывающее их наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК):

$НОД(a; b) \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$

Поскольку числа $a$ и $b$ взаимно простые, мы уже установили, что $НОД(a; b) = 1$. Подставим это значение в формулу:

$1 \cdot НОК(a; b) = a \cdot b$

Из этого уравнения следует, что наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

Ответ: $НОК(a; b) = a \cdot b$.

17. Сформулируйте основную теорему арифметики натуральных чисел.

Формулировка теоремы

Основная теорема арифметики (также известная как теорема о единственности разложения на простые множители) гласит: любое натуральное число, большее единицы, либо является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём это представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Пояснения к ключевым понятиям

Для понимания теоремы необходимо определить основные термины:

- Натуральное число — это число, используемое при счёте предметов: $1, 2, 3, \dots$ Теорема применяется к числам $n > 1$.

- Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Примеры: $2, 3, 5, 7, 11, 13$.

- Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Например, $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3 \cdot 3$.

Два аспекта теоремы: существование и единственность

Теорему можно разбить на две части:

1. Существование разложения. Это означает, что любое составное число можно "собрать" из простых множителей. Например, число 20 можно получить, перемножив простые числа 2, 2 и 5.

2. Единственность разложения. Это означает, что для каждого числа набор "строительных блоков" (простых множителей) уникален. Порядок множителей может меняться ($20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$ или $20 = 5 \cdot 2 \cdot 2$), но сам набор $\{2, 2, 5\}$ — единственный возможный для числа 20.

Каноническое разложение

Чтобы сделать представление абсолютно уникальным, множители принято записывать в порядке возрастания и группировать одинаковые в виде степеней. Такое представление называется каноническим разложением числа на простые множители.

Формально: любое натуральное число $n > 1$ можно единственным образом представить в виде:
$n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$
где $p_1 < p_2 < \dots < p_k$ — простые числа, а $a_1, a_2, \dots, a_k$ — натуральные числа (их степени).

Примеры

- Каноническое разложение числа 120:
$120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$.

- Каноническое разложение числа 588:
$588 = 2 \cdot 294 = 2 \cdot 2 \cdot 147 = 2^2 \cdot 3 \cdot 49 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 7^2$.

- Для простого числа, например 19, каноническое разложение — это само число: $19 = 19^1$.

Значение теоремы

Эта теорема является фундаментальной в теории чисел, поскольку она устанавливает, что простые числа служат "элементарными кирпичиками", из которых строятся все остальные натуральные числа. На ней основаны многие важные понятия и алгоритмы, включая нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) чисел, а также некоторые методы в криптографии.

Ответ: Основная теорема арифметики натуральных чисел утверждает, что любое натуральное число больше единицы ($n > 1$) либо само является простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования сомножителей.

1.14. Найдите все такие натуральные числа n, при которых:

а) выражение $\frac{5n + 4}{n}$ является натуральным числом;

б) выражение $\frac{5n + 4}{n + 3}$ является натуральным числом;

в) выражение $\frac{7n + 12}{n}$ является натуральным числом;

г) выражение $\frac{7n + 11}{n - 5}$ является натуральным числом.

а) выражение $\frac{5n + 4}{n}$ является натуральным числом;

Для того чтобы данное выражение было натуральным числом, где $n$ — натуральное число, преобразуем его, разделив числитель на знаменатель почленно:

$\frac{5n + 4}{n} = \frac{5n}{n} + \frac{4}{n} = 5 + \frac{4}{n}$

Выражение $5 + \frac{4}{n}$ является натуральным числом тогда и только тогда, когда $\frac{4}{n}$ является целым числом, и сумма $5 + \frac{4}{n}$ положительна. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $\frac{4}{n}$ всегда положительно. Следовательно, нам нужно найти все натуральные $n$, при которых 4 делится на $n$ без остатка. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 4.

Натуральными делителями числа 4 являются 1, 2 и 4.

Проверим эти значения:

При $n=1$: $5 + \frac{4}{1} = 9$ (натуральное).

При $n=2$: $5 + \frac{4}{2} = 5 + 2 = 7$ (натуральное).

При $n=4$: $5 + \frac{4}{4} = 5 + 1 = 6$ (натуральное).

Ответ: $n \in \{1, 2, 4\}$.

б) выражение $\frac{5n + 4}{n + 3}$ является натуральным числом;

Чтобы найти все натуральные $n$, при которых данное выражение является натуральным числом, выделим целую часть дроби. Это можно сделать, представив числитель в виде, содержащем знаменатель:

$\frac{5n + 4}{n + 3} = \frac{5(n + 3) - 15 + 4}{n + 3} = \frac{5(n + 3) - 11}{n + 3} = \frac{5(n + 3)}{n + 3} - \frac{11}{n + 3} = 5 - \frac{11}{n + 3}$

Для того чтобы полученное выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы $\frac{11}{n + 3}$ было целым числом, а результат вычитания $5 - \frac{11}{n + 3}$ был натуральным числом (то есть $\ge 1$).

Целочисленность $\frac{11}{n + 3}$ означает, что $n+3$ должно быть делителем числа 11. Делителями 11 являются числа $\pm 1, \pm 11$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+3 \ge 1+3=4$. Из всех делителей числа 11 этому условию удовлетворяет только число 11.

Следовательно, $n + 3 = 11$, откуда $n = 8$.

Проверим, будет ли значение выражения натуральным при $n=8$:

$5 - \frac{11}{8 + 3} = 5 - \frac{11}{11} = 5 - 1 = 4$.

Число 4 — натуральное, значит, $n=8$ является решением.

Ответ: $n = 8$.

в) выражение $\frac{7n + 12}{n}$ является натуральным числом;

Преобразуем выражение, аналогично пункту а):

$\frac{7n + 12}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{12}{n} = 7 + \frac{12}{n}$

Для того чтобы сумма $7 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом (при натуральном $n$), необходимо, чтобы $\frac{12}{n}$ было целым и положительным числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 12.

Перечислим все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Для каждого из этих значений $n$ выражение будет натуральным числом:

При $n=1: 7 + 12 = 19$.

При $n=2: 7 + 6 = 13$.

При $n=3: 7 + 4 = 11$.

При $n=4: 7 + 3 = 10$.

При $n=6: 7 + 2 = 9$.

При $n=12: 7 + 1 = 8$.

Ответ: $n \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

г) выражение $\frac{7n + 11}{n - 5}$ является натуральным числом.

По условию, $n$ — натуральное число. Знаменатель $n - 5$ не должен быть равен нулю, то есть $n \ne 5$.

Выделим целую часть дроби:

$\frac{7n + 11}{n - 5} = \frac{7(n - 5) + 35 + 11}{n - 5} = \frac{7(n - 5) + 46}{n - 5} = 7 + \frac{46}{n - 5}$

Чтобы это выражение было натуральным числом, $7 + \frac{46}{n - 5}$ должно быть натуральным числом. Это требует, чтобы $\frac{46}{n - 5}$ было целым числом, то есть $n-5$ должно быть делителем числа 46.

Делители числа 46: $\pm 1, \pm 2, \pm 23, \pm 46$.

Кроме того, значение выражения $7 + \frac{46}{n - 5}$ должно быть $\ge 1$, что означает $\frac{46}{n - 5} \ge -6$.

Рассмотрим все возможные значения $n-5$, для которых $n$ будет натуральным:

1. $n - 5 = 1 \implies n = 6$. Выражение равно $7 + 46 = 53$ (натуральное).

2. $n - 5 = 2 \implies n = 7$. Выражение равно $7 + 23 = 30$ (натуральное).

3. $n - 5 = 23 \implies n = 28$. Выражение равно $7 + 2 = 9$ (натуральное).

4. $n - 5 = 46 \implies n = 51$. Выражение равно $7 + 1 = 8$ (натуральное).

5. $n - 5 = -1 \implies n = 4$. Выражение равно $7 - 46 = -39$ (не натуральное).

6. $n - 5 = -2 \implies n = 3$. Выражение равно $7 - 23 = -16$ (не натуральное).

Остальные делители ($ -23, -46$) дают не натуральные значения $n$.

Таким образом, подходят только те значения $n$, для которых $n-5$ является положительным делителем числа 46.

Ответ: $n \in \{6, 7, 28, 51\}$.

1.15. Найдите все такие натуральные числа $n$, при которых заданное выражение является натуральным числом:

a) $\frac{5n^2 + 7n - 12}{n}$;

б) $\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2}$.

а)

Чтобы найти все натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{5n^2 + 7n - 12}{n}$ является натуральным числом, преобразуем данное выражение.

Поскольку $n$ — натуральное число, мы можем разделить числитель почленно на знаменатель:

$\frac{5n^2 + 7n - 12}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{7n}{n} - \frac{12}{n} = 5n + 7 - \frac{12}{n}$

Для того чтобы значение этого выражения было целым числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 12.

Найдём все натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Теперь подставим каждое из этих значений $n$ в выражение $5n + 7 - \frac{12}{n}$ и проверим, будет ли результат натуральным числом (то есть положительным целым числом).

• При $n=1$: $5(1) + 7 - \frac{12}{1} = 5 + 7 - 12 = 0$. Число 0 не является натуральным.
• При $n=2$: $5(2) + 7 - \frac{12}{2} = 10 + 7 - 6 = 11$. Это натуральное число.
• При $n=3$: $5(3) + 7 - \frac{12}{3} = 15 + 7 - 4 = 18$. Это натуральное число.
• При $n=4$: $5(4) + 7 - \frac{12}{4} = 20 + 7 - 3 = 24$. Это натуральное число.
• При $n=6$: $5(6) + 7 - \frac{12}{6} = 30 + 7 - 2 = 35$. Это натуральное число.
• При $n=12$: $5(12) + 7 - \frac{12}{12} = 60 + 7 - 1 = 66$. Это натуральное число.

Таким образом, заданное выражение является натуральным числом при $n \in \{2, 3, 4, 6, 12\}$.

Ответ: 2, 3, 4, 6, 12.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2}$. Чтобы оно было натуральным числом при натуральном $n$, преобразуем его, разделив числитель почленно на знаменатель:

$\frac{n^7 + 3n^2 + 36}{n^2} = \frac{n^7}{n^2} + \frac{3n^2}{n^2} + \frac{36}{n^2} = n^5 + 3 + \frac{36}{n^2}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n^5$ и 3 также являются натуральными числами. Чтобы вся сумма была натуральным числом, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{36}{n^2}$ было натуральным числом.

Это означает, что $n^2$ должно быть натуральным делителем числа 36.

Найдём все натуральные делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Теперь из этого списка выберем те числа, которые являются полными квадратами натуральных чисел, так как $n^2$ должно быть квадратом.

• $n^2 = 1 \implies n = 1$.
• $n^2 = 4 \implies n = 2$.
• $n^2 = 9 \implies n = 3$.
• $n^2 = 36 \implies n = 6$.

Другие делители (2, 3, 6, 12, 18) не являются квадратами натуральных чисел, поэтому они не могут быть равны $n^2$.

Таким образом, возможные натуральные значения для $n$ это 1, 2, 3, 6. При всех этих значениях $n^5+3+\frac{36}{n^2}$ будет натуральным числом.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа:

а) $y = 2 + \frac{4}{x + 3}$;

б) $y = \frac{5x + 17}{x + 7}$.

а) Чтобы найти все точки на графике функции $y = 2 + \frac{4}{x + 3}$, у которых обе координаты являются целыми числами, необходимо, чтобы $x$ был целым, и при этом $y$ также принимал целое значение.
Из уравнения функции видно, что $y$ будет целым числом в том и только в том случае, если выражение $\frac{4}{x + 3}$ будет целым, так как число 2 уже является целым.
Дробь $\frac{4}{x + 3}$ будет целым числом, если ее знаменатель $(x + 3)$ является целым делителем числителя 4. Поскольку $x$ — целое число, то $(x + 3)$ также является целым.
Целые делители числа 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Теперь рассмотрим каждый случай:
1. Если $x + 3 = 1$, то $x = -2$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{1} = 6$. Точка: $(-2, 6)$.
2. Если $x + 3 = -1$, то $x = -4$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-1} = 2 - 4 = -2$. Точка: $(-4, -2)$.
3. Если $x + 3 = 2$, то $x = -1$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. Точка: $(-1, 4)$.
4. Если $x + 3 = -2$, то $x = -5$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-2} = 2 - 2 = 0$. Точка: $(-5, 0)$.
5. Если $x + 3 = 4$, то $x = 1$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$. Точка: $(1, 3)$.
6. Если $x + 3 = -4$, то $x = -7$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-4} = 2 - 1 = 1$. Точка: $(-7, 1)$.
Таким образом, мы нашли все точки с целочисленными координатами.
Ответ: $(-7, 1), (-5, 0), (-4, -2), (-2, 6), (-1, 4), (1, 3)$.

б) Чтобы найти все точки на графике функции $y = \frac{5x + 17}{x + 7}$ с целыми координатами, нужно, чтобы при целых значениях $x$ значения $y$ также были целыми.
Для удобства анализа преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив ее целую часть. Это можно сделать с помощью деления многочлена на многочлен ("столбиком") или алгебраически:
$y = \frac{5x + 17}{x + 7} = \frac{5(x + 7) - 35 + 17}{x + 7} = \frac{5(x + 7) - 18}{x + 7} = \frac{5(x + 7)}{x + 7} - \frac{18}{x + 7} = 5 - \frac{18}{x + 7}$.
Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{18}{x + 7}$ будет целым числом, так как 5 — целое число.
Это условие выполняется, если знаменатель $(x + 7)$ является целым делителем числителя 18.
Целые делители числа 18: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.
Рассмотрим все 12 возможных случаев:
1. $x + 7 = 1 \implies x = -6$; $y = 5 - \frac{18}{1} = -13$. Точка: $(-6, -13)$.
2. $x + 7 = -1 \implies x = -8$; $y = 5 - \frac{18}{-1} = 23$. Точка: $(-8, 23)$.
3. $x + 7 = 2 \implies x = -5$; $y = 5 - \frac{18}{2} = -4$. Точка: $(-5, -4)$.
4. $x + 7 = -2 \implies x = -9$; $y = 5 - \frac{18}{-2} = 14$. Точка: $(-9, 14)$.
5. $x + 7 = 3 \implies x = -4$; $y = 5 - \frac{18}{3} = -1$. Точка: $(-4, -1)$.
6. $x + 7 = -3 \implies x = -10$; $y = 5 - \frac{18}{-3} = 11$. Точка: $(-10, 11)$.
7. $x + 7 = 6 \implies x = -1$; $y = 5 - \frac{18}{6} = 2$. Точка: $(-1, 2)$.
8. $x + 7 = -6 \implies x = -13$; $y = 5 - \frac{18}{-6} = 8$. Точка: $(-13, 8)$.
9. $x + 7 = 9 \implies x = 2$; $y = 5 - \frac{18}{9} = 3$. Точка: $(2, 3)$.
10. $x + 7 = -9 \implies x = -16$; $y = 5 - \frac{18}{-9} = 7$. Точка: $(-16, 7)$.
11. $x + 7 = 18 \implies x = 11$; $y = 5 - \frac{18}{18} = 4$. Точка: $(11, 4)$.
12. $x + 7 = -18 \implies x = -25$; $y = 5 - \frac{18}{-18} = 6$. Точка: $(-25, 6)$.
Мы нашли все 12 точек с целочисленными координатами.
Ответ: $(-25, 6), (-16, 7), (-13, 8), (-10, 11), (-9, 14), (-8, 23), (-6, -13), (-5, -4), (-4, -1), (-1, 2), (2, 3), (11, 4)$.

1.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра $a$ на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки:

а) $y = \frac{a}{x+1}$;

б) $y = \frac{a}{x+113}$.

а) $y = \frac{a}{x+1}$

Согласно условию задачи, необходимо найти наименьшее натуральное значение параметра $a$, при котором существует ровно одна пара натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению.

Координаты $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$ и $y \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Параметр $a$ также является натуральным числом.

Выразим $a$ из уравнения функции: $a = y(x+1)$.

Поскольку $x$ — натуральное число, то $x \ge 1$. Следовательно, множитель $(x+1)$ может принимать значения из множества $\{2, 3, 4, \dots\}$.

Уравнение $a = y(x+1)$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ с натуральными координатами число $(x+1)$ должно быть делителем числа $a$. Обозначим этот делитель как $k = x+1$. Так как $x \ge 1$, этот делитель должен удовлетворять условию $k \ge 2$.

Для каждого делителя $k$ числа $a$, который больше или равен 2, мы можем найти единственную пару натуральных чисел:
$x = k-1$ (поскольку $k \ge 2$, то $x \ge 1$, что является натуральным числом),
$y = \frac{a}{k}$ (поскольку $k$ — делитель $a$, то $y$ — натуральное число).

Таким образом, количество точек на графике с натуральными координатами равно количеству делителей числа $a$, которые больше или равны 2. По условию, такая точка должна быть ровно одна. Это означает, что число $a$ должно иметь ровно один делитель, больший или равный 2.

Проанализируем, какое число $a$ обладает таким свойством.
- Если $a=1$, его единственный делитель — 1. Делителей, больших или равных 2, нет. Значит, 0 точек.
- Если $a$ — простое число (например, 2, 3, 5, ...), его делители — это 1 и само число $a$. Единственный делитель, больший или равный 2, — это само $a$. Это дает ровно одну точку.
- Если $a$ — составное число, большее 1 (например, 4, 6, 9, ...), оно имеет как минимум один делитель, отличный от 1 и $a$. Все делители, большие 1, будут также больше или равны 2, следовательно, точек будет больше одной.
Таким образом, число $a$ должно быть простым.

В задаче требуется найти наименьшее натуральное значение $a$. Наименьшее простое число — это 2. Значит, наименьшее значение для $a$ равно 2.

Найдем координаты точки для $a=2$. Уравнение принимает вид $y = \frac{2}{x+1}$.
Нам нужно, чтобы $(x+1)$ был делителем числа 2 и при этом $x+1 \ge 2$. Единственный такой делитель — это 2.
$x+1 = 2 \implies x = 1$.
$y = \frac{2}{2} = 1$.
Координаты точки — $(1, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $a=2$, координаты точки $(1, 1).

б) $y = \frac{a}{x+113}$

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Координаты $x, y$ и параметр $a$ должны быть натуральными числами.

Из уравнения функции получаем: $a = y(x+113)$.

Поскольку $x$ — натуральное число, $x \ge 1$. Следовательно, множитель $(x+113)$ может принимать значения из множества $\{114, 115, 116, \dots\}$.

Это означает, что для существования точки $(x, y)$ с натуральными координатами число $(x+113)$ должно быть делителем числа $a$, и этот делитель должен быть не меньше 114.

Количество точек с натуральными координатами равно количеству делителей числа $a$, которые больше или равны 114. По условию, такая точка должна быть ровно одна. Это означает, что число $a$ должно иметь ровно один делитель $k \ge 114$.

Пусть делители числа $a$ в порядке возрастания — это $d_1 < d_2 < \dots < d_m$. Наибольший делитель — это $d_m = a$. Чтобы существовал только один делитель, больший или равный 114, это должен быть сам наибольший делитель. Таким образом, должны выполняться два условия:
1. Наибольший делитель $a$ должен быть $\ge 114$.
2. Предпоследний по величине делитель $d_{m-1}$ должен быть $< 114$.

Предпоследний по величине делитель любого числа $a$ находится делением $a$ на его наименьший простой множитель, который обозначим $p_{min}$. Таким образом, второе условие можно записать как $a/p_{min} < 114$.

Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, удовлетворяющее двум условиям:
- $a \ge 114$
- $a/p_{min} < 114$

Проверим числа, начиная с наименьшего возможного значения для $a$, то есть со 114.
Проверим $a=114$:
- Условие $114 \ge 114$ выполняется.
- Разложим 114 на простые множители: $114 = 2 \cdot 57 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. Наименьший простой множитель $p_{min}$ равен 2.
- Проверим второе условие: $a/p_{min} < 114$. Это $114/2 < 114$, что сводится к $57 < 114$. Условие выполняется.

Поскольку $a=114$ является наименьшим целым числом, удовлетворяющим первому условию ($a \ge 114$), и оно также удовлетворяет второму условию, это и есть искомое наименьшее натуральное значение $a$.

Теперь найдем координаты точки для $a=114$. Уравнение: $y = \frac{114}{x+113}$.
Нам нужно, чтобы $(x+113)$ был делителем числа 114 и $x+113 \ge 114$. Делители числа 114: $\{1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114\}$. Единственный делитель, удовлетворяющий условию, — это 114.
$x+113 = 114 \implies x = 1$.
$y = \frac{114}{114} = 1$.
Координаты точки — $(1, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $a=114$, координаты точки $(1, 1).

1.18. Известно, что при некотором значении $a$ число $b = a + \frac{2}{a}$

целое. Будет ли целым число:

а) $a^2 + \frac{4}{a^2}$;

б) $a^3 + \frac{8}{a^3}$?

а) $a^2 + \frac{4}{a^2}$

По условию задачи, выражение $b = a + \frac{2}{a}$ является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$:$a + \frac{2}{a} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Чтобы выразить $a^2 + \frac{4}{a^2}$ через $k$, возведем обе части равенства $a + \frac{2}{a} = k$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:$\left(a + \frac{2}{a}\right)^2 = k^2$

Раскроем скобки в левой части:$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \left(\frac{2}{a}\right)^2 = k^2$$a^2 + 4 + \frac{4}{a^2} = k^2$

Теперь выразим искомое выражение:$a^2 + \frac{4}{a^2} = k^2 - 4$

Поскольку $k$ — целое число, то его квадрат $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 4) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $a^2 + \frac{4}{a^2}$ будет целым числом.

Ответ: да, будет целым числом.

б) $a^3 + \frac{8}{a^3}$

Мы используем то же условие: $a + \frac{2}{a} = k$, где $k$ — целое число.Искомое выражение $a^3 + \frac{8}{a^3}$ можно представить как сумму кубов $a^3 + \left(\frac{2}{a}\right)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через куб суммы: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$.Подставим $x=a$ и $y=\frac{2}{a}$:$a^3 + \left(\frac{2}{a}\right)^3 = \left(a+\frac{2}{a}\right)^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{2}{a} \left(a+\frac{2}{a}\right)$

Теперь подставим известное значение $k$:$a^3 + \frac{8}{a^3} = k^3 - 3 \cdot 2 \cdot k$$a^3 + \frac{8}{a^3} = k^3 - 6k$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $6k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $6k$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $a^3 + \frac{8}{a^3}$ будет целым числом.

Ответ: да, будет целым числом.

1.19. Найдите все значения $a$, при которых $x$ и $y$ являются натуральными числами:

а) $x = \frac{4}{a} + 3, y = \frac{8}{a} + a$;

б) $x = \frac{3}{a} + 3, y = \frac{9}{a} + 2a$.

а) По условию задачи, x и y являются натуральными числами, то есть $x \in \mathbb{N}$ и $y \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим первое уравнение: $x = \frac{4}{a} + 3$. Выразим из него параметр a.
$x - 3 = \frac{4}{a}$
$a = \frac{4}{x-3}$
Поскольку $x$ – натуральное число, $x \ge 1$. Заметим, что $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Теперь подставим полученное выражение для a во второе уравнение: $y = \frac{8}{a} + a$.
$y = \frac{8}{\frac{4}{x-3}} + \frac{4}{x-3} = \frac{8(x-3)}{4} + \frac{4}{x-3} = 2(x-3) + \frac{4}{x-3}$
$y = 2x - 6 + \frac{4}{x-3}$

Поскольку x и y – натуральные числа, то y должно быть целым числом. В выражении $y = 2x - 6 + \frac{4}{x-3}$ слагаемые $2x$ и $-6$ являются целыми. Следовательно, для того чтобы y было целым, необходимо, чтобы выражение $\frac{4}{x-3}$ также было целым. Это означает, что знаменатель $(x-3)$ должен быть делителем числителя 4.

Целые делители числа 4: $\{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.

Рассмотрим все возможные значения для $(x-3)$ и найдем соответствующие значения x, проверив, являются ли они натуральными числами.
1. $x-3 = -4 \Rightarrow x = -1$. Не является натуральным числом.
2. $x-3 = -2 \Rightarrow x = 1$. Является натуральным числом.
3. $x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Является натуральным числом.
4. $x-3 = 1 \Rightarrow x = 4$. Является натуральным числом.
5. $x-3 = 2 \Rightarrow x = 5$. Является натуральным числом.
6. $x-3 = 4 \Rightarrow x = 7$. Является натуральным числом.

Теперь для каждого найденного натурального значения x проверим, будет ли y также натуральным числом.
• При $x=1$: $y = 2(1) - 6 + \frac{4}{1-3} = 2 - 6 - 2 = -6$. Не является натуральным числом.
• При $x=2$: $y = 2(2) - 6 + \frac{4}{2-3} = 4 - 6 - 4 = -6$. Не является натуральным числом.
• При $x=4$: $y = 2(4) - 6 + \frac{4}{4-3} = 8 - 6 + 4 = 6$. Является натуральным числом.
• При $x=5$: $y = 2(5) - 6 + \frac{4}{5-3} = 10 - 6 + 2 = 6$. Является натуральным числом.
• При $x=7$: $y = 2(7) - 6 + \frac{4}{7-3} = 14 - 6 + 1 = 9$. Является натуральным числом.

Мы нашли три пары натуральных чисел $(x, y)$: $(4, 6)$, $(5, 6)$ и $(7, 9)$. Теперь найдем соответствующие значения параметра a по формуле $a = \frac{4}{x-3}$.
• Для $x=4$: $a = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$.
• Для $x=5$: $a = \frac{4}{5-3} = \frac{4}{2} = 2$.
• Для $x=7$: $a = \frac{4}{7-3} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: $a \in \{1, 2, 4\}$.

б) Аналогично предыдущему пункту, x и y должны быть натуральными числами.

Из первого уравнения $x = \frac{3}{a} + 3$ выразим a:
$x - 3 = \frac{3}{a}$
$a = \frac{3}{x-3}$
Здесь $x \in \mathbb{N}$ и $x \neq 3$.

Подставим это выражение для a во второе уравнение $y = \frac{9}{a} + 2a$:
$y = \frac{9}{\frac{3}{x-3}} + 2 \left( \frac{3}{x-3} \right) = \frac{9(x-3)}{3} + \frac{6}{x-3} = 3(x-3) + \frac{6}{x-3}$
$y = 3x - 9 + \frac{6}{x-3}$

Для того чтобы y было целым числом, выражение $\frac{6}{x-3}$ должно быть целым. Это значит, что $(x-3)$ должен быть делителем числа 6.

Целые делители числа 6: $\{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$.

Найдем возможные натуральные значения x:
1. $x-3 = -6 \Rightarrow x = -3$. Не натуральное.
2. $x-3 = -3 \Rightarrow x = 0$. Не натуральное.
3. $x-3 = -2 \Rightarrow x = 1$. Натуральное.
4. $x-3 = -1 \Rightarrow x = 2$. Натуральное.
5. $x-3 = 1 \Rightarrow x = 4$. Натуральное.
6. $x-3 = 2 \Rightarrow x = 5$. Натуральное.
7. $x-3 = 3 \Rightarrow x = 6$. Натуральное.
8. $x-3 = 6 \Rightarrow x = 9$. Натуральное.

Проверим, будет ли y натуральным числом для найденных значений x.
• При $x=1$: $y = 3(1) - 9 + \frac{6}{1-3} = 3 - 9 - 3 = -9$. Не натуральное.
• При $x=2$: $y = 3(2) - 9 + \frac{6}{2-3} = 6 - 9 - 6 = -9$. Не натуральное.
• При $x=4$: $y = 3(4) - 9 + \frac{6}{4-3} = 12 - 9 + 6 = 9$. Натуральное.
• При $x=5$: $y = 3(5) - 9 + \frac{6}{5-3} = 15 - 9 + 3 = 9$. Натуральное.
• При $x=6$: $y = 3(6) - 9 + \frac{6}{6-3} = 18 - 9 + 2 = 11$. Натуральное.
• При $x=9$: $y = 3(9) - 9 + \frac{6}{9-3} = 27 - 9 + 1 = 19$. Натуральное.

Осталось найти соответствующие значения a по формуле $a = \frac{3}{x-3}$.
• Для $x=4$: $a = \frac{3}{4-3} = \frac{3}{1} = 3$.
• Для $x=5$: $a = \frac{3}{5-3} = \frac{3}{2}$.
• Для $x=6$: $a = \frac{3}{6-3} = \frac{3}{3} = 1$.
• Для $x=9$: $a = \frac{3}{9-3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in \{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 3\}$.

1.20. При каких значениях параметра a уравнение имеет два различных натуральных корня:

a) $ax^2 - (2a^2 + 5)x + 10a = 0;$

б) $ax^2 - (a^2 + 5)x + 3a - 5 = 0?$

а) $ax^2 - (2a^2 + 5)x + 10a = 0$

Для того чтобы уравнение имело два различных натуральных корня $x_1$ и $x_2$, должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение должно быть квадратным, то есть старший коэффициент не должен быть равен нулю: $a \neq 0$. Если $a=0$, уравнение принимает вид $-5x = 0$, откуда $x=0$. Этот корень не является натуральным. Следовательно, $a \neq 0$.

2. Дискриминант уравнения $D$ должен быть строго положительным ($D > 0$), чтобы было два различных действительных корня.

3. Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть натуральными числами ($x_1, x_2 \in \mathbb{N}, x_1 \neq x_2$).

Применим теорему Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Тогда:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = \frac{2a^2 + 5}{a} = 2a + \frac{5}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{10a}{a} = 10$

Из второго уравнения следует, что произведение корней является постоянным числом, равным 10. Так как $x_1$ и $x_2$ — различные натуральные числа, нам нужно найти все пары таких чисел, произведение которых равно 10. Таких пар две:

• $\{1, 10\}$

• $\{2, 5\}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Корни уравнения равны 1 и 10.

Их сумма $x_1 + x_2 = 1 + 10 = 11$. Подставим это значение в формулу для суммы корней:

$2a + \frac{5}{a} = 11$

Умножим обе части на $a$ (мы уже знаем, что $a \neq 0$):

$2a^2 + 5 = 11a$

$2a^2 - 11a + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

$D_a = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$

$a = \frac{11 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm 9}{4}$

Получаем два значения для $a$: $a_1 = \frac{11+9}{4} = 5$ и $a_2 = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: Корни уравнения равны 2 и 5.

Их сумма $x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$. Подставим это значение в формулу для суммы корней:

$2a + \frac{5}{a} = 7$

$2a^2 + 5 = 7a$

$2a^2 - 7a + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

$D_a = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

$a = \frac{7 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$

Получаем еще два значения для $a$: $a_3 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $a_4 = \frac{7-3}{4} = 1$.

Теперь необходимо проверить условие $D > 0$ для исходного уравнения.

$D = (-(2a^2 + 5))^2 - 4 \cdot a \cdot (10a) = (2a^2 + 5)^2 - 40a^2 = 4a^4 + 20a^2 + 25 - 40a^2 = 4a^4 - 20a^2 + 25 = (2a^2 - 5)^2$.

Условие $D > 0$ означает $(2a^2 - 5)^2 > 0$, что эквивалентно $2a^2 - 5 \neq 0$, или $a^2 \neq \frac{5}{2}$.

Проверим найденные значения $a$: $5, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1$.

Для $a=5, a^2=25 \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=\frac{1}{2}, a^2=\frac{1}{4} \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=\frac{5}{2}, a^2=\frac{25}{4} \neq \frac{5}{2}$.

Для $a=1, a^2=1 \neq \frac{5}{2}$.

Все четыре найденных значения параметра $a$ удовлетворяют условию $D > 0$. Таким образом, все они являются решениями задачи.

Ответ: $a \in \{\frac{1}{2}, 1, \frac{5}{2}, 5\}$.

б) $ax^2 - (a^2 + 5)x + 3a - 5 = 0$

Аналогично пункту а), для наличия двух различных натуральных корней $x_1, x_2$ необходимо, чтобы $a \neq 0$ (иначе уравнение становится линейным $-5x-5=0$ с корнем $x=-1$, не являющимся натуральным) и дискриминант $D > 0$.

Применим теорему Виета:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = \frac{a^2 + 5}{a} = a + \frac{5}{a}$

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{3a - 5}{a} = 3 - \frac{5}{a}$

Поскольку $x_1, x_2$ — натуральные числа, их сумма $S$ и произведение $P$ также должны быть натуральными числами. Так как корни различны, то $x_1 \ge 1, x_2 \ge 2$ (или наоборот), откуда следует $S = x_1 + x_2 \ge 3$ и $P = x_1 \cdot x_2 \ge 2$.

Выразим $a$ и $\frac{5}{a}$ из этих двух уравнений:

Из второго уравнения: $\frac{5}{a} = 3 - P$.

Подставим это в первое уравнение: $S = a + (3 - P)$, откуда $a = S + P - 3$.

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу для $\frac{5}{a}$:

$\frac{5}{S + P - 3} = 3 - P$

$(S + P - 3)(3 - P) = 5$

Так как $S$ и $P$ — целые числа, то выражения в скобках $(S + P - 3)$ и $(3 - P)$ также являются целыми числами, и их произведение равно 5. Рассмотрим возможные целочисленные множители числа 5: $(1, 5)$, $(5, 1)$, $(-1, -5)$, $(-5, -1)$.

Проанализируем значения этих множителей с учетом ограничений на $S$ и $P$:

$S \ge 3$ и $P \ge 2$.

Тогда первый множитель $A = S + P - 3 \ge 3 + 2 - 3 = 2$.

А второй множитель $B = 3 - P \le 3 - 2 = 1$.

Нам нужно найти такую пару целых чисел $(A, B)$, что $A \cdot B = 5$, $A \ge 2$ и $B \le 1$.

Рассмотрим пары множителей числа 5:

1. $(A, B) = (1, 5)$. Не подходит, так как $A=1$, а должно быть $A \ge 2$.

2. $(A, B) = (5, 1)$. Эта пара удовлетворяет условиям $A=5 \ge 2$ и $B=1 \le 1$.

Из $B = 3 - P = 1$ следует, что $P = 2$.

Из $A = S + P - 3 = 5$ следует, что $S + 2 - 3 = 5$, откуда $S=6$.

Итак, мы ищем два различных натуральных числа, сумма которых равна 6, а произведение — 2. Эти числа являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$, то есть $t^2 - 6t + 2 = 0$.

Решим его: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.

Корни $3 + \sqrt{7}$ и $3 - \sqrt{7}$ не являются натуральными числами. Следовательно, этот случай не дает решений.

3. $(A, B) = (-1, -5)$. Не подходит, так как $A=-1$, а должно быть $A \ge 2$.

4. $(A, B) = (-5, -1)$. Не подходит, так как $A=-5$, а должно быть $A \ge 2$.

Поскольку ни один из возможных случаев не привел к паре различных натуральных корней, не существует таких значений параметра $a$, при которых данное уравнение имело бы два различных натуральных корня.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

1.21. Найдите все целочисленные значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения — целые числа:

a) $x^2 + ax + \frac{4}{a - 4} = 0$;

б) $(a + 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 5a - 4 = 0$.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + ax + \frac{4}{a-4} = 0$.

По условию, параметр $a$ — целое число, а оба корня уравнения, $x_1$ и $x_2$, также являются целыми числами. Для того чтобы уравнение было определено, знаменатель $a-4$ не должен быть равен нулю, то есть $a \ne 4$.

Применим теорему Виета для данного приведенного квадратного уравнения:

• $x_1 + x_2 = -a$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{a-4}$

Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма $x_1+x_2$ и произведение $x_1 \cdot x_2$ также должны быть целыми числами. Сумма корней $-a$ является целым числом, так как $a$ — целое. Произведение корней $\frac{4}{a-4}$ должно быть целым числом. Это возможно только если $a-4$ является целым делителем числа 4.

Целые делители числа 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Рассмотрим все возможные случаи для $a-4$:

1. $a - 4 = 1 \implies a = 5$
2. $a - 4 = -1 \implies a = 3$
3. $a - 4 = 2 \implies a = 6$
4. $a - 4 = -2 \implies a = 2$
5. $a - 4 = 4 \implies a = 8$
6. $a - 4 = -4 \implies a = 0$

Теперь для каждого из этих целочисленных значений $a$ коэффициенты уравнения становятся целыми. Уравнение имеет вид $x^2 + ax + C = 0$, где $C = \frac{4}{a-4}$ — целое число. Корни такого уравнения будут целыми, если его дискриминант $D = a^2 - 4C$ является полным квадратом неотрицательного целого числа.

Проверим это условие для каждого найденного значения $a$:

• При $a=5$: $C = \frac{4}{1} = 4$. $D = 5^2 - 4 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Дискриминант — полный квадрат. Корни $x = \frac{-5 \pm 3}{2}$ равны $-1$ и $-4$. Оба целые. Значение $a=5$ подходит.
• При $a=3$: $C = \frac{4}{-1} = -4$. $D = 3^2 - 4 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Дискриминант — полный квадрат. Корни $x = \frac{-3 \pm 5}{2}$ равны $1$ и $-4$. Оба целые. Значение $a=3$ подходит.
• При $a=6$: $C = \frac{4}{2} = 2$. $D = 6^2 - 4 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$. Не является полным квадратом. Значение $a=6$ не подходит.
• При $a=2$: $C = \frac{4}{-2} = -2$. $D = 2^2 - 4 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$. Не является полным квадратом. Значение $a=2$ не подходит.
• При $a=8$: $C = \frac{4}{4} = 1$. $D = 8^2 - 4 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$. Не является полным квадратом. Значение $a=8$ не подходит.
• При $a=0$: $C = \frac{4}{-4} = -1$. $D = 0^2 - 4 \cdot (-1) = 4 = 2^2$. Дискриминант — полный квадрат. Уравнение $x^2 - 1 = 0$ имеет корни $x = \pm 1$. Оба целые. Значение $a=0$ подходит.

Таким образом, целочисленные значения параметра $a$, при которых оба корня уравнения целые, это 0, 3 и 5.

Ответ: $a \in \{0, 3, 5\}$.

б)

Рассмотрим уравнение $(a+2)x^2 + (2a-1)x + a^2 - 5a - 4 = 0$.

По условию, параметр $a$ — целое число, а оба корня уравнения (или один корень, если уравнение линейное или имеет кратные корни) являются целыми числами.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
$a+2=0 \implies a=-2$.
При $a=-2$ уравнение становится линейным:
$(2(-2)-1)x + ((-2)^2 - 5(-2) - 4) = 0$
$(-5)x + (4 + 10 - 4) = 0$
$-5x + 10 = 0 \implies 5x=10 \implies x=2$.
Корень уравнения $x=2$ является целым числом. Таким образом, $a=-2$ является одним из решений.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю, т.е. $a \ne -2$.
Уравнение является квадратным. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его целые корни. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = -\frac{2a-1}{a+2}$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{a^2-5a-4}{a+2}$

Поскольку $x_1$ и $x_2$ — целые, их сумма и произведение также должны быть целыми. Преобразуем выражения для суммы и произведения, выделив целую часть:
$x_1+x_2 = -\frac{2(a+2)-4-1}{a+2} = -\left(\frac{2(a+2)}{a+2} - \frac{5}{a+2}\right) = -2 + \frac{5}{a+2}$.
Для того чтобы эта сумма была целой, необходимо, чтобы дробь $\frac{5}{a+2}$ была целым числом. Это означает, что $a+2$ должен быть делителем числа 5. Делители 5: $\pm 1, \pm 5$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{(a-7)(a+2)+10}{a+2} = a-7 + \frac{10}{a+2}$.
Для того чтобы это произведение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{10}{a+2}$ была целым числом. Это означает, что $a+2$ должен быть делителем числа 10. Делители 10: $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому $a+2$ должен быть общим делителем чисел 5 и 10, то есть делителем числа 5.
Возможные значения для $a+2$: $1, -1, 5, -5$.
Отсюда возможные значения для $a$:

• $a+2=1 \implies a=-1$
• $a+2=-1 \implies a=-3$
• $a+2=5 \implies a=3$
• $a+2=-5 \implies a=-7$

Теперь проверим эти значения. Если сумма $S=x_1+x_2$ и произведение $P=x_1x_2$ являются целыми, то сами корни $x_1, x_2$ являются корнями уравнения $t^2 - St + P = 0$. Они будут целыми, если дискриминант $D' = S^2 - 4P$ является полным квадратом.

• При $a=-1$:
  $S = -2 + \frac{5}{1} = 3$
  $P = -1-7 + \frac{10}{1} = 2$
  $D' = 3^2 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 = 1^2$. $D'$ — полный квадрат. Корни уравнения $t^2-3t+2=0$ равны 1 и 2. Оба целые. Значение $a=-1$ подходит.
• При $a=-3$:
  $S = -2 + \frac{5}{-1} = -7$
  $P = -3-7 + \frac{10}{-1} = -20$
  $D' = (-7)^2 - 4 \cdot (-20) = 49 + 80 = 129$. Не является полным квадратом. Значение $a=-3$ не подходит.
• При $a=3$:
  $S = -2 + \frac{5}{5} = -1$
  $P = 3-7 + \frac{10}{5} = -2$
  $D' = (-1)^2 - 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$. $D'$ — полный квадрат. Корни уравнения $t^2+t-2=0$ равны 1 и -2. Оба целые. Значение $a=3$ подходит.
• При $a=-7$:
  $S = -2 + \frac{5}{-5} = -3$
  $P = -7-7 + \frac{10}{-5} = -16$
  $D' = (-3)^2 - 4 \cdot (-16) = 9 + 64 = 73$. Не является полным квадратом. Значение $a=-7$ не подходит.

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем, что искомые значения параметра $a$ — это -2, -1 и 3.

Ответ: $a \in \{-2, -1, 3\}$.