Номер 1.17, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра $a$ на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки:

а) $y = \frac{a}{x+1}$;

б) $y = \frac{a}{x+113}$.

а) $y = \frac{a}{x+1}$

Согласно условию задачи, необходимо найти наименьшее натуральное значение параметра $a$, при котором существует ровно одна пара натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющая уравнению.

Координаты $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, то есть $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$ и $y \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Параметр $a$ также является натуральным числом.

Выразим $a$ из уравнения функции: $a = y(x+1)$.

Поскольку $x$ — натуральное число, то $x \ge 1$. Следовательно, множитель $(x+1)$ может принимать значения из множества $\{2, 3, 4, \dots\}$.

Уравнение $a = y(x+1)$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ с натуральными координатами число $(x+1)$ должно быть делителем числа $a$. Обозначим этот делитель как $k = x+1$. Так как $x \ge 1$, этот делитель должен удовлетворять условию $k \ge 2$.

Для каждого делителя $k$ числа $a$, который больше или равен 2, мы можем найти единственную пару натуральных чисел:
$x = k-1$ (поскольку $k \ge 2$, то $x \ge 1$, что является натуральным числом),
$y = \frac{a}{k}$ (поскольку $k$ — делитель $a$, то $y$ — натуральное число).

Таким образом, количество точек на графике с натуральными координатами равно количеству делителей числа $a$, которые больше или равны 2. По условию, такая точка должна быть ровно одна. Это означает, что число $a$ должно иметь ровно один делитель, больший или равный 2.

Проанализируем, какое число $a$ обладает таким свойством.
- Если $a=1$, его единственный делитель — 1. Делителей, больших или равных 2, нет. Значит, 0 точек.
- Если $a$ — простое число (например, 2, 3, 5, ...), его делители — это 1 и само число $a$. Единственный делитель, больший или равный 2, — это само $a$. Это дает ровно одну точку.
- Если $a$ — составное число, большее 1 (например, 4, 6, 9, ...), оно имеет как минимум один делитель, отличный от 1 и $a$. Все делители, большие 1, будут также больше или равны 2, следовательно, точек будет больше одной.
Таким образом, число $a$ должно быть простым.

В задаче требуется найти наименьшее натуральное значение $a$. Наименьшее простое число — это 2. Значит, наименьшее значение для $a$ равно 2.

Найдем координаты точки для $a=2$. Уравнение принимает вид $y = \frac{2}{x+1}$.
Нам нужно, чтобы $(x+1)$ был делителем числа 2 и при этом $x+1 \ge 2$. Единственный такой делитель — это 2.
$x+1 = 2 \implies x = 1$.
$y = \frac{2}{2} = 1$.
Координаты точки — $(1, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $a=2$, координаты точки $(1, 1).

б) $y = \frac{a}{x+113}$

Рассуждаем аналогично предыдущему пункту. Координаты $x, y$ и параметр $a$ должны быть натуральными числами.

Из уравнения функции получаем: $a = y(x+113)$.

Поскольку $x$ — натуральное число, $x \ge 1$. Следовательно, множитель $(x+113)$ может принимать значения из множества $\{114, 115, 116, \dots\}$.

Это означает, что для существования точки $(x, y)$ с натуральными координатами число $(x+113)$ должно быть делителем числа $a$, и этот делитель должен быть не меньше 114.

Количество точек с натуральными координатами равно количеству делителей числа $a$, которые больше или равны 114. По условию, такая точка должна быть ровно одна. Это означает, что число $a$ должно иметь ровно один делитель $k \ge 114$.

Пусть делители числа $a$ в порядке возрастания — это $d_1 < d_2 < \dots < d_m$. Наибольший делитель — это $d_m = a$. Чтобы существовал только один делитель, больший или равный 114, это должен быть сам наибольший делитель. Таким образом, должны выполняться два условия:
1. Наибольший делитель $a$ должен быть $\ge 114$.
2. Предпоследний по величине делитель $d_{m-1}$ должен быть $< 114$.

Предпоследний по величине делитель любого числа $a$ находится делением $a$ на его наименьший простой множитель, который обозначим $p_{min}$. Таким образом, второе условие можно записать как $a/p_{min} < 114$.

Мы ищем наименьшее натуральное число $a$, удовлетворяющее двум условиям:
- $a \ge 114$
- $a/p_{min} < 114$

Проверим числа, начиная с наименьшего возможного значения для $a$, то есть со 114.
Проверим $a=114$:
- Условие $114 \ge 114$ выполняется.
- Разложим 114 на простые множители: $114 = 2 \cdot 57 = 2 \cdot 3 \cdot 19$. Наименьший простой множитель $p_{min}$ равен 2.
- Проверим второе условие: $a/p_{min} < 114$. Это $114/2 < 114$, что сводится к $57 < 114$. Условие выполняется.

Поскольку $a=114$ является наименьшим целым числом, удовлетворяющим первому условию ($a \ge 114$), и оно также удовлетворяет второму условию, это и есть искомое наименьшее натуральное значение $a$.

Теперь найдем координаты точки для $a=114$. Уравнение: $y = \frac{114}{x+113}$.
Нам нужно, чтобы $(x+113)$ был делителем числа 114 и $x+113 \ge 114$. Делители числа 114: $\{1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114\}$. Единственный делитель, удовлетворяющий условию, — это 114.
$x+113 = 114 \implies x = 1$.
$y = \frac{114}{114} = 1$.
Координаты точки — $(1, 1)$.

Ответ: наименьшее значение $a=114$, координаты точки $(1, 1).