Номер 1.24, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.24. Существуют ли такие натуральные числа $n$ и $k$, что по-последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

а) $627^n - 833^k$;

б) $834^n - 626^k$?

Чтобы последняя цифра разности двух чисел была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы последние цифры этих чисел совпадали. Задача сводится к тому, чтобы определить, могут ли указанные степени оканчиваться на одну и ту же цифру.

а) $627^n - 833^k$

Проанализируем, на какие цифры могут оканчиваться числа $627^n$ и $833^k$. Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания.

Для числа $627^n$ последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $7^n$. Найдем последовательность последних цифр для степеней семерки:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49 \rightarrow 9$
$7^3 = 343 \rightarrow 3$
$7^4 = 2401 \rightarrow 1$
$7^5 = 16807 \rightarrow 7$
Последовательность последних цифр циклически повторяется с периодом 4: (7, 9, 3, 1). Таким образом, число $627^n$ может оканчиваться на 1, 3, 7 или 9.

Для числа $833^k$ последняя цифра совпадает с последней цифрой числа $3^k$. Найдем последовательность последних цифр для степеней тройки:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27 \rightarrow 7$
$3^4 = 81 \rightarrow 1$
$3^5 = 243 \rightarrow 3$
Последовательность последних цифр также циклически повторяется с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Таким образом, число $833^k$ может оканчиваться на 1, 3, 7 или 9.

Множества возможных последних цифр для $627^n$ и $833^k$ полностью совпадают. Следовательно, можно подобрать такие натуральные $n$ и $k$, чтобы последние цифры степеней были равны. Например, чтобы последняя цифра $627^n$ была равна 7, нужно взять $n=1$. Чтобы последняя цифра $833^k$ была равна 7, нужно взять $k=3$. При $n=1$ и $k=3$ последняя цифра разности $627^1 - 833^3$ будет равна $7 - 7 = 0$.
Ответ: да, существуют (например, $n=1, k=3$).

б) $834^n - 626^k$

Аналогично, проанализируем последние цифры чисел $834^n$ и $626^k$.

Последняя цифра $834^n$ определяется последней цифрой $4^n$:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16 \rightarrow 6$
$4^3 = 64 \rightarrow 4$
Последовательность последних цифр для степеней четверки: (4, 6). То есть, $834^n$ оканчивается на 4, если $n$ — нечетное, и на 6, если $n$ — четное.

Последняя цифра $626^k$ определяется последней цифрой $6^k$:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36 \rightarrow 6$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Значит, $626^k$ всегда оканчивается на 6 для любого натурального $k$.

Чтобы последние цифры $834^n$ и $626^k$ совпали, они обе должны быть равны 6. Это возможно. Для этого нужно, чтобы $n$ было четным числом, например $n=2$. Число $k$ может быть любым натуральным числом, например $k=1$. При $n=2$ и $k=1$ последняя цифра числа $834^2$ равна 6, и последняя цифра числа $626^1$ равна 6. Следовательно, последняя цифра их разности будет $6 - 6 = 0$.
Ответ: да, существуют (например, $n=2, k=1$).