Номер 1.27, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.27. Докажите, что:

а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2;

б) произведение трёх идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6;

в) произведение четырёх идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24;

г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.

а)Пусть даны два идущих подряд натуральных числа: $n$ и $n+1$. Их произведение равно $n(n+1)$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $n$ — четное число, то оно делится на 2. Тогда и все произведение $n(n+1)$ делится на 2.
2. Если $n$ — нечетное число, то следующее за ним число $n+1$ — четное и делится на 2. Тогда и все произведение $n(n+1)$ делится на 2.
Поскольку любое натуральное число является либо четным, либо нечетным, в любом случае произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2.
Ответ: Утверждение доказано.

б)Пусть даны три идущих подряд натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)$.
Докажем делимость на 3:
При делении на 3 число может давать остаток 0, 1 или 2. Рассмотрим все случаи для числа $n$:
1. Если $n$ делится на 3 (остаток 0), то и все произведение $P$ делится на 3.
2. Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то число $n+2$ будет делиться на 3, так как $(3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
3. Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то число $n+1$ будет делиться на 3, так как $(3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Таким образом, в любой тройке идущих подряд чисел одно из них обязательно делится на 3, а значит и их произведение делится на 3.
Докажем делимость на 6:
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Мы уже доказали, что произведение $P$ делится на 3. В произведении $P$ содержится произведение двух идущих подряд чисел $n(n+1)$, которое, как доказано в пункте а), всегда делится на 2. Значит, и все произведение $P = [n(n+1)](n+2)$ делится на 2.
Поскольку произведение $P$ делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно простые, оно делится на их произведение $2 \times 3 = 6$.
Ответ: Утверждение доказано.

в)Пусть даны четыре идущих подряд натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$.
Чтобы доказать делимость на 4, 12 и 24, достаточно доказать делимость на 24, так как 4 и 12 являются делителями числа 24.
Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8, так как $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые.
Делимость на 3: Среди четырех идущих подряд чисел обязательно есть хотя бы одно число, делящееся на 3 (это следует из доказательства в пункте б)). Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Делимость на 8: Среди четырех идущих подряд чисел есть ровно два четных числа. Эти числа являются последовательными четными, то есть их можно записать в виде $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Как доказано в пункте а), произведение $k(k+1)$ всегда четно, то есть делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$. Тогда произведение двух четных множителей равно $4(2m) = 8m$, что всегда делится на 8. Следовательно, и все произведение $P$ делится на 8.
Поскольку произведение $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на $3 \times 8 = 24$. А раз оно делится на 24, то оно делится и на его делители 4 и 12.
Ответ: Утверждение доказано.

г)Пусть даны пять идущих подряд натуральных чисел: $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$. Их произведение $P = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.
Чтобы доказать делимость на 5, 20 и 120, достаточно доказать делимость на 120, так как 5 и 20 являются делителями числа 120.
Число делится на 120, если оно делится на 3, 5 и 8, так как $120 = 3 \times 5 \times 8$, а числа 3, 5, 8 попарно взаимно простые.
Делимость на 5: Среди любых пяти идущих подряд натуральных чисел одно и только одно делится на 5. Следовательно, произведение $P$ делится на 5.
Делимость на 3: Среди любых пяти идущих подряд натуральных чисел есть как минимум одно, делящееся на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
Делимость на 8: Среди пяти идущих подряд чисел есть подпоследовательность из четырех идущих подряд чисел (например, $n, n+1, n+2, n+3$). Как доказано в пункте в), произведение четырех идущих подряд чисел всегда делится на 8. Следовательно, и произведение $P$ делится на 8.
Поскольку произведение $P$ делится на 3, на 5 и на 8, оно делится на их произведение $3 \times 5 \times 8 = 120$. А раз оно делится на 120, то оно делится и на его делители 5 и 20.
Ответ: Утверждение доказано.