Номер 1.30, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.30. В числе 735□4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы:

а) число при делении на 3 давало в остатке 2;

б) число при делении на 4 давало в остатке 2.

а) Обозначим пропущенную цифру через $x$. Тогда мы имеем число $735x4$. Согласно признаку делимости, остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Сумма цифр нашего числа равна $S = 7 + 3 + 5 + x + 4 = 19 + x$. По условию задачи, число должно давать остаток 2 при делении на 3. Следовательно, сумма его цифр $19 + x$ также должна давать остаток 2 при делении на 3. Это означает, что выражение $(19 + x) - 2$, то есть $17 + x$, должно быть кратно 3. Переберем все возможные значения $x$ от 0 до 9 и найдем те, при которых сумма $17 + x$ делится на 3. Подходящие значения:
• при $x=1$, $17+1=18$, что кратно 3 ($18 = 3 \cdot 6$);
• при $x=4$, $17+4=21$, что кратно 3 ($21 = 3 \cdot 7$);
• при $x=7$, $17+7=24$, что кратно 3 ($24 = 3 \cdot 8$).
Другие цифры не подходят. Таким образом, пропуск можно заполнить цифрами 1, 4 или 7.

Ответ: 1, 4, 7.

б) Рассматриваем число $735x4$. Остаток от деления любого числа на 4 зависит только от числа, образованного его двумя последними цифрами. В данном случае это число $x4$, которое можно записать в виде $10x + 4$. По условию, это число должно давать остаток 2 при делении на 4. Запишем это математически: $(10x + 4) \pmod 4 = 2$. Поскольку слагаемое 4 делится на 4 без остатка, то остаток всей суммы зависит только от слагаемого $10x$. Таким образом, условие сводится к $10x \pmod 4 = 2$. Представим $10x$ в виде $8x + 2x$. Так как $8x$ всегда делится на 4 (поскольку 8 делится на 4), остаток выражения $8x + 2x$ при делении на 4 будет таким же, как и остаток от деления $2x$ на 4. Значит, нам нужно найти такие цифры $x$, для которых $2x$ дает остаток 2 при делении на 4. Переберем значения $x$ от 0 до 9:
• если $x$ - четное число (0, 2, 4, 6, 8), то $2x$ будет кратно 4, и остаток будет 0.
• если $x$ - нечетное число (1, 3, 5, 7, 9), то $2x$ не будет кратно 4, и остаток будет 2. Например, при $x=1$, $2 \cdot 1=2$, остаток 2; при $x=3$, $2 \cdot 3=6$, остаток 2; при $x=5$, $2 \cdot 5=10$, остаток 2, и так далее.
Следовательно, подходят все нечетные цифры.

Ответ: 1, 3, 5, 7, 9.