Номер 1.32, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.32. Рассмотрите два предложения:

a) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3;

б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5.

Докажите, что из этих утверждений верно только одно.

Для доказательства истинности или ложности данных утверждений мы будем использовать теорию сравнений по модулю. Каждое утверждение представляет собой эквивалентность ($P \iff Q$), поэтому для доказательства необходимо проверить две импликации: $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$.

а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Утверждение можно записать в виде: $a^2 + b^2$ делится на 3 $\iff$ $a$ делится на 3 и $b$ делится на 3.

1. Докажем импликацию: если $a$ и $b$ делятся на 3, то $a^2 + b^2$ делится на 3.
Если $a$ делится на 3, то $a = 3k$ для некоторого натурального $k$. Аналогично, если $b$ делится на 3, то $b = 3m$ для некоторого натурального $m$. Тогда их сумма квадратов равна: $a^2 + b^2 = (3k)^2 + (3m)^2 = 9k^2 + 9m^2 = 3(3k^2 + 3m^2)$. Это выражение очевидно делится на 3. Эта часть утверждения верна.

2. Докажем импликацию: если $a^2 + b^2$ делится на 3, то $a$ и $b$ делятся на 3.
Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты натуральных чисел при делении на 3. Любое натуральное число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Запишем это в виде сравнений по модулю 3:

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Теперь рассмотрим сумму $a^2 + b^2$ по модулю 3. По условию, $a^2 + b^2$ делится на 3, что означает $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Проверим возможные комбинации остатков для $a^2$ и $b^2$:

• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то $a^2+b^2 \equiv 0+0=0 \pmod{3}$.
• Если $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$ (или наоборот), то $a^2+b^2 \equiv 0+1=1 \pmod{3}$.
• Если $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то $a^2+b^2 \equiv 1+1=2 \pmod{3}$.

Сумма квадратов делится на 3 ($a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{3}$) только в первом случае, когда $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Если квадрат числа делится на простое число 3, то и само число должно делиться на 3. Следовательно, из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует $a \equiv 0 \pmod{3}$, и из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует $b \equiv 0 \pmod{3}$. Значит, если $a^2 + b^2$ делится на 3, то и $a$, и $b$ делятся на 3. Эта часть утверждения также верна.

Поскольку обе импликации верны, утверждение а) является истинным.

Ответ: утверждение а) верно.

б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5

Утверждение: $a^2 + b^2$ делится на 5 $\iff$ $a$ делится на 5 и $b$ делится на 5.

1. Проверим импликацию: если $a$ и $b$ делятся на 5, то $a^2 + b^2$ делится на 5.
Если $a = 5k$ и $b = 5m$, то $a^2 + b^2 = (5k)^2 + (5m)^2 = 25k^2 + 25m^2 = 5(5k^2 + 5m^2)$. Сумма делится на 5. Эта часть утверждения верна.

2. Проверим импликацию: если $a^2 + b^2$ делится на 5, то $a$ и $b$ делятся на 5.
Рассмотрим остатки квадратов натуральных чисел при делении на 5.

• Если $n \equiv 0 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 3 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$.
• Если $n \equiv 4 \pmod{5}$, то $n^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.

Таким образом, квадрат любого натурального числа при делении на 5 может давать в остатке только 0, 1 или 4. Рассмотрим сумму $a^2 + b^2$ по модулю 5 при условии $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{5}$. Проверим, какие комбинации остатков $a^2$ и $b^2$ дают в сумме 0 по модулю 5:

• $a^2 \equiv 0, b^2 \equiv 0 \implies a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{5}$.
• $a^2 \equiv 1, b^2 \equiv 4 \implies a^2+b^2 \equiv 1+4 = 5 \equiv 0 \pmod{5}$.

Кроме случая, когда оба числа делятся на 5, существует еще один: когда $a^2$ дает остаток 1, а $b^2$ — остаток 4 (или наоборот). Это означает, что $a$ не делится на 5 (остатки $a$ могут быть 1 или 4), и $b$ не делится на 5 (остатки $b$ могут быть 2 или 3). Приведем контрпример. Пусть $a=1$ и $b=2$. Ни $a=1$, ни $b=2$ не делятся на 5. Однако их сумма квадратов $a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Число 5 делится на 5. Таким образом, мы нашли числа $a$ и $b$, которые не делятся на 5, но сумма их квадратов делится на 5. Следовательно, импликация "если $a^2 + b^2$ делится на 5, то $a$ и $b$ делятся на 5" является ложной.

Поскольку одна из импликаций ложна, всё утверждение "тогда и только тогда" является ложным.

Ответ: утверждение б) неверно.

В результате анализа мы установили, что утверждение а) верно, а утверждение б) неверно. Таким образом, доказано, что из этих двух утверждений верно только одно.