Номер 1.35, страница 25, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.35. Выпишите все пары взаимно простых составных чисел из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, ..., 20.

Для решения этой задачи необходимо сначала определить все составные числа в заданном диапазоне, а затем найти среди них пары, которые являются взаимно простыми.

1. Находим составные числа в отрезке [1, 20]

Составное число — это натуральное число, большее 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Сначала выпишем все числа от 1 до 20 и определим, какие из них являются составными.

• Простые числа в этом диапазоне: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• Составные числа — это все остальные натуральные числа из отрезка, которые больше 1 и не являются простыми.

Таким образом, список составных чисел из отрезка [1, 20] следующий: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

2. Ищем взаимно простые пары

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что у них нет общих простых делителей. Для удобства проверки разложим каждое составное число на простые множители:

• $4 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2^3$
• $9 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $12 = 2^2 \cdot 3$
• $14 = 2 \cdot 7$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $16 = 2^4$
• $18 = 2 \cdot 3^2$
• $20 = 2^2 \cdot 5$

Теперь систематически переберем все возможные пары из этого списка и проверим их на взаимную простоту, то есть на отсутствие общих простых множителей в их разложениях.

• Для числа 4 (простой множитель 2): ищем числа, в разложении которых нет множителя 2. Это 9 ($3^2$) и 15 ($3 \cdot 5$).
  Получаем пары: (4, 9), (4, 15).
• Для числа 6 (простые множители 2, 3): все остальные составные числа в списке имеют в разложении либо 2, либо 3, поэтому пар с числом 6 нет.
• Для числа 8 (простой множитель 2): как и для числа 4, ищем числа без множителя 2. Это 9 и 15.
  Получаем пары: (8, 9), (8, 15).
• Для числа 9 (простой множитель 3): ищем числа без множителя 3. Из оставшегося списка это 10 ($2 \cdot 5$), 14 ($2 \cdot 7$), 16 ($2^4$), 20 ($2^2 \cdot 5$).
  Получаем пары: (9, 10), (9, 14), (9, 16), (9, 20).
• Для числа 10 (простые множители 2, 5): все оставшиеся непроверенные числа (12, 14, 15, 16, 18, 20) имеют общий множитель 2 или 5. Новых пар нет.
• Для числа 12 (простые множители 2, 3): все оставшиеся непроверенные числа (14, 15, 16, 18, 20) имеют общий множитель 2 или 3. Новых пар нет.
• Для числа 14 (простые множители 2, 7): ищем среди оставшихся (15, 16, 18, 20) числа без множителей 2 и 7. Подходит только 15 ($3 \cdot 5$).
  Получаем пару: (14, 15).
• Для числа 15 (простые множители 3, 5): ищем среди оставшихся (16, 18, 20) числа без множителей 3 и 5. Подходит только 16 ($2^4$).
  Получаем пару: (15, 16).

Остальные числа (16, 18, 20) не образуют новых взаимно простых пар.

Ответ: (4, 9), (4, 15), (8, 9), (8, 15), (9, 10), (9, 14), (9, 16), (9, 20), (14, 15), (15, 16).