Номер 1.40, страница 26, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.40. Найдите все простые числа p и q такие, что:

а) $5p + 17q = 140$;

б) $7p + 3q = 86$.

а) Рассмотрим уравнение $5p + 17q = 140$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Перепишем уравнение в виде $5p = 140 - 17q$. Правая часть уравнения должна быть положительной, так как $p$ — простое число, а значит $p > 0$. Следовательно, $140 - 17q > 0$, что означает $17q < 140$. Отсюда $q < 140/17 \approx 8.23$.
Поскольку $q$ — простое число, возможные значения для $q$ это 2, 3, 5, 7.
Также можно заметить, что число $140$ делится на 5, и слагаемое $5p$ тоже делится на 5. Следовательно, слагаемое $17q$ должно быть кратно 5.
$17q = 140 - 5p = 5(28-p)$.
Поскольку 17 и 5 — взаимно простые числа, для того чтобы произведение $17q$ делилось на 5, необходимо, чтобы $q$ делилось на 5.
Единственное простое число, которое делится на 5, — это само число 5.
Значит, $q=5$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$5p + 17 \cdot 5 = 140$
$5p + 85 = 140$
$5p = 140 - 85$
$5p = 55$
$p = 11$
Число 11 является простым. Таким образом, пара чисел $(p,q) = (11,5)$ является решением.
Проверим остальные возможные значения $q$ из найденного ранее диапазона.
Если $q=2$: $5p + 17 \cdot 2 = 140 \implies 5p = 106$. $106$ не делится на 5.
Если $q=3$: $5p + 17 \cdot 3 = 140 \implies 5p = 89$. $89$ не делится на 5.
Если $q=7$: $5p + 17 \cdot 7 = 140 \implies 5p = 21$. $21$ не делится на 5.
Таким образом, единственное решение — $p=11, q=5$.
Ответ: $p = 11, q = 5$.

б) Рассмотрим уравнение $7p + 3q = 86$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Так как $p$ и $q$ — простые числа, они являются натуральными числами, $p \ge 2$ и $q \ge 2$.
Выразим $7p$: $7p = 86 - 3q$.
Поскольку $q \ge 2$, то $3q \ge 6$.
Следовательно, $7p = 86 - 3q \le 86 - 6 = 80$.
$p \le 80/7 \approx 11.4$.
Так как $p$ — простое число, возможные значения для $p$: 2, 3, 5, 7, 11.
Рассмотрим каждый случай:
1. Если $p=2$:
$7 \cdot 2 + 3q = 86$
$14 + 3q = 86$
$3q = 72$
$q = 24$. Число 24 не является простым.
2. Если $p=3$:
$7 \cdot 3 + 3q = 86$
$21 + 3q = 86$
$3q = 65$. Число 65 не делится на 3. Решений в целых числах нет.
3. Если $p=5$:
$7 \cdot 5 + 3q = 86$
$35 + 3q = 86$
$3q = 51$
$q = 17$. Число 17 является простым. Пара $(p,q) = (5,17)$ является решением.
4. Если $p=7$:
$7 \cdot 7 + 3q = 86$
$49 + 3q = 86$
$3q = 37$. Число 37 не делится на 3. Решений в целых числах нет.
5. Если $p=11$:
$7 \cdot 11 + 3q = 86$
$77 + 3q = 86$
$3q = 9$
$q = 3$. Число 3 является простым. Пара $(p,q) = (11,3)$ является решением.
Мы рассмотрели все возможные значения для $p$.
Ответ: $p=5, q=17$ или $p=11, q=3$.