Номер 1.18, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.18. Известно, что при некотором значении $a$ число $b = a + \frac{2}{a}$

целое. Будет ли целым число:

а) $a^2 + \frac{4}{a^2}$;

б) $a^3 + \frac{8}{a^3}$?

а) $a^2 + \frac{4}{a^2}$

По условию задачи, выражение $b = a + \frac{2}{a}$ является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$:$a + \frac{2}{a} = k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Чтобы выразить $a^2 + \frac{4}{a^2}$ через $k$, возведем обе части равенства $a + \frac{2}{a} = k$ в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:$\left(a + \frac{2}{a}\right)^2 = k^2$

Раскроем скобки в левой части:$a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \left(\frac{2}{a}\right)^2 = k^2$$a^2 + 4 + \frac{4}{a^2} = k^2$

Теперь выразим искомое выражение:$a^2 + \frac{4}{a^2} = k^2 - 4$

Поскольку $k$ — целое число, то его квадрат $k^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($k^2$ и 4) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $a^2 + \frac{4}{a^2}$ будет целым числом.

Ответ: да, будет целым числом.

б) $a^3 + \frac{8}{a^3}$

Мы используем то же условие: $a + \frac{2}{a} = k$, где $k$ — целое число.Искомое выражение $a^3 + \frac{8}{a^3}$ можно представить как сумму кубов $a^3 + \left(\frac{2}{a}\right)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов, выраженной через куб суммы: $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$.Подставим $x=a$ и $y=\frac{2}{a}$:$a^3 + \left(\frac{2}{a}\right)^3 = \left(a+\frac{2}{a}\right)^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{2}{a} \left(a+\frac{2}{a}\right)$

Теперь подставим известное значение $k$:$a^3 + \frac{8}{a^3} = k^3 - 3 \cdot 2 \cdot k$$a^3 + \frac{8}{a^3} = k^3 - 6k$

Поскольку $k$ — целое число, то $k^3$ и $6k$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($k^3$ и $6k$) всегда является целым числом. Следовательно, выражение $a^3 + \frac{8}{a^3}$ будет целым числом.

Ответ: да, будет целым числом.