Номер 1.16, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа:

а) $y = 2 + \frac{4}{x + 3}$;

б) $y = \frac{5x + 17}{x + 7}$.

а) Чтобы найти все точки на графике функции $y = 2 + \frac{4}{x + 3}$, у которых обе координаты являются целыми числами, необходимо, чтобы $x$ был целым, и при этом $y$ также принимал целое значение.
Из уравнения функции видно, что $y$ будет целым числом в том и только в том случае, если выражение $\frac{4}{x + 3}$ будет целым, так как число 2 уже является целым.
Дробь $\frac{4}{x + 3}$ будет целым числом, если ее знаменатель $(x + 3)$ является целым делителем числителя 4. Поскольку $x$ — целое число, то $(x + 3)$ также является целым.
Целые делители числа 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.
Теперь рассмотрим каждый случай:
1. Если $x + 3 = 1$, то $x = -2$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{1} = 6$. Точка: $(-2, 6)$.
2. Если $x + 3 = -1$, то $x = -4$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-1} = 2 - 4 = -2$. Точка: $(-4, -2)$.
3. Если $x + 3 = 2$, то $x = -1$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. Точка: $(-1, 4)$.
4. Если $x + 3 = -2$, то $x = -5$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-2} = 2 - 2 = 0$. Точка: $(-5, 0)$.
5. Если $x + 3 = 4$, то $x = 1$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$. Точка: $(1, 3)$.
6. Если $x + 3 = -4$, то $x = -7$. Тогда $y = 2 + \frac{4}{-4} = 2 - 1 = 1$. Точка: $(-7, 1)$.
Таким образом, мы нашли все точки с целочисленными координатами.
Ответ: $(-7, 1), (-5, 0), (-4, -2), (-2, 6), (-1, 4), (1, 3)$.

б) Чтобы найти все точки на графике функции $y = \frac{5x + 17}{x + 7}$ с целыми координатами, нужно, чтобы при целых значениях $x$ значения $y$ также были целыми.
Для удобства анализа преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив ее целую часть. Это можно сделать с помощью деления многочлена на многочлен ("столбиком") или алгебраически:
$y = \frac{5x + 17}{x + 7} = \frac{5(x + 7) - 35 + 17}{x + 7} = \frac{5(x + 7) - 18}{x + 7} = \frac{5(x + 7)}{x + 7} - \frac{18}{x + 7} = 5 - \frac{18}{x + 7}$.
Из полученного выражения видно, что $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда дробь $\frac{18}{x + 7}$ будет целым числом, так как 5 — целое число.
Это условие выполняется, если знаменатель $(x + 7)$ является целым делителем числителя 18.
Целые делители числа 18: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$.
Рассмотрим все 12 возможных случаев:
1. $x + 7 = 1 \implies x = -6$; $y = 5 - \frac{18}{1} = -13$. Точка: $(-6, -13)$.
2. $x + 7 = -1 \implies x = -8$; $y = 5 - \frac{18}{-1} = 23$. Точка: $(-8, 23)$.
3. $x + 7 = 2 \implies x = -5$; $y = 5 - \frac{18}{2} = -4$. Точка: $(-5, -4)$.
4. $x + 7 = -2 \implies x = -9$; $y = 5 - \frac{18}{-2} = 14$. Точка: $(-9, 14)$.
5. $x + 7 = 3 \implies x = -4$; $y = 5 - \frac{18}{3} = -1$. Точка: $(-4, -1)$.
6. $x + 7 = -3 \implies x = -10$; $y = 5 - \frac{18}{-3} = 11$. Точка: $(-10, 11)$.
7. $x + 7 = 6 \implies x = -1$; $y = 5 - \frac{18}{6} = 2$. Точка: $(-1, 2)$.
8. $x + 7 = -6 \implies x = -13$; $y = 5 - \frac{18}{-6} = 8$. Точка: $(-13, 8)$.
9. $x + 7 = 9 \implies x = 2$; $y = 5 - \frac{18}{9} = 3$. Точка: $(2, 3)$.
10. $x + 7 = -9 \implies x = -16$; $y = 5 - \frac{18}{-9} = 7$. Точка: $(-16, 7)$.
11. $x + 7 = 18 \implies x = 11$; $y = 5 - \frac{18}{18} = 4$. Точка: $(11, 4)$.
12. $x + 7 = -18 \implies x = -25$; $y = 5 - \frac{18}{-18} = 6$. Точка: $(-25, 6)$.
Мы нашли все 12 точек с целочисленными координатами.
Ответ: $(-25, 6), (-16, 7), (-13, 8), (-10, 11), (-9, 14), (-8, 23), (-6, -13), (-5, -4), (-4, -1), (-1, 2), (2, 3), (11, 4)$.