Номер 1.6, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.6. а) Если $n : p$, то $(n \cdot m) : p$ для любого натурального $m$.

б) Если $x : 5$, то $3x : 15$.

в) Если $x : 7$ и $y : 3$, то $(xy + 14y) : 21$.

г) Если $x : 17$ и $y : 4$, то $(2xy - 34y) : 136$.

а) По условию, число $n$ делится на $p$. Запись $n \vdots p$ означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство $n = p \cdot k$.

Рассмотрим произведение $(n \cdot m)$. Подставим в него выражение для $n$:

$n \cdot m = (p \cdot k) \cdot m = p \cdot (k \cdot m)$

Так как $k$ — целое число, а $m$ — натуральное (а значит, и целое) число, их произведение $(k \cdot m)$ также является целым числом. Обозначим $q = k \cdot m$, где $q$ — целое число.

Тогда $n \cdot m = p \cdot q$. Это по определению означает, что произведение $(n \cdot m)$ делится на $p$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

б) По условию, $x$ делится на 5. Это значит, что существует такое целое число $k$, что $x = 5k$.

Рассмотрим выражение $3x$. Подставим в него выражение для $x$:

$3x = 3 \cdot (5k) = (3 \cdot 5) \cdot k = 15k$

Так как $k$ — целое число, произведение $15k$ по определению делится на 15. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

в) По условию, $x$ делится на 7 и $y$ делится на 3. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $x = 7k$ и $y = 3l$.

Рассмотрим выражение $(xy + 14y)$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$xy + 14y = y(x + 14)$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$:

$y(x + 14) = (3l)(7k + 14)$

Вынесем общий множитель 7 из второй скобки:

$(3l) \cdot 7(k + 2) = 3 \cdot 7 \cdot l \cdot (k + 2) = 21 \cdot l(k + 2)$

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, выражение $l(k + 2)$ также является целым числом. Обозначим его $q$.

Тогда $xy + 14y = 21q$. Это по определению означает, что выражение $(xy + 14y)$ делится на 21. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.

г) По условию, $x$ делится на 17 и $y$ делится на 4. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $l$, что $x = 17k$ и $y = 4l$.

Рассмотрим выражение $(2xy - 34y)$. Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2xy - 34y = 2y(x - 17)$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$:

$2y(x - 17) = 2 \cdot (4l) \cdot (17k - 17)$

Вынесем общий множитель 17 из второй скобки:

$2 \cdot (4l) \cdot 17(k - 1) = (2 \cdot 4 \cdot 17) \cdot l(k - 1) = (8 \cdot 17) \cdot l(k-1) = 136 \cdot l(k - 1)$

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, выражение $l(k - 1)$ также является целым числом. Обозначим его $q$.

Тогда $2xy - 34y = 136q$. Это по определению означает, что выражение $(2xy - 34y)$ делится на 136. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение верно.