Номер 1.8, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.8. a) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность;

б) разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.

а)

Утверждение гласит, что разность квадратов любых двух различных натуральных чисел делится на их сумму и на их разность. Проверим это утверждение, доказав его истинность.

Пусть $a$ и $b$ – два различных натуральных числа, то есть $a, b \in \mathbb{N}$ и $a \neq b$.

Разность их квадратов равна $a^2 - b^2$. Их сумма равна $a+b$, а их разность равна $a-b$.

Для доказательства воспользуемся известной формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Это равенство показывает, что разность квадратов $a^2 - b^2$ является произведением двух множителей: $(a - b)$ и $(a + b)$.

1. Делимость на разность $(a-b)$.
Чтобы проверить, делится ли $a^2 - b^2$ на $a-b$, рассмотрим частное: $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b}$. Поскольку по условию числа $a$ и $b$ различны ($a \neq b$), их разность $a-b \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $(a-b)$: $\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = a + b$. Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, их сумма $a+b$ также является натуральным числом (а значит, и целым). Это означает, что $a^2 - b^2$ делится на $a-b$ нацело.

2. Делимость на сумму $(a+b)$.
Аналогично проверим делимость на сумму $a+b$: $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$. Поскольку $a$ и $b$ – натуральные числа, их сумма $a+b \ge 1+2=3$ (так как они различны). Значит, $a+b \neq 0$. Сокращаем дробь на $(a+b)$: $\frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b$. Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, их разность $a-b$ является целым числом. Это означает, что $a^2 - b^2$ делится на $a+b$ нацело.

Таким образом, оба условия выполняются.

Ответ: Утверждение верно. Разность квадратов $a^2 - b^2$ можно представить в виде произведения $(a-b)(a+b)$, из чего следует, что она делится нацело на каждый из сомножителей: на разность $(a-b)$ и на сумму $(a+b)$.

б)

Утверждение гласит, что разность любых двух различных натуральных чисел является делителем разности их кубов. Проверим это утверждение.

Пусть $a$ и $b$ – два различных натуральных числа, то есть $a, b \in \mathbb{N}$ и $a \neq b$.

Их разность равна $a-b$. Разность их кубов равна $a^3 - b^3$.

Нам нужно доказать, что $(a^3 - b^3)$ делится на $(a-b)$ без остатка. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Чтобы показать, что $(a-b)$ является делителем $(a^3 - b^3)$, рассмотрим их частное: $\frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b}$.

Поскольку по условию $a \neq b$, то разность $a-b \neq 0$. Мы можем сократить дробь на этот множитель: $\frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} = a^2 + ab + b^2$.

Так как $a$ и $b$ – натуральные числа, то их квадраты ($a^2$, $b^2$) и их произведение ($ab$) также являются натуральными числами (или, в общем случае, целыми). Сумма целых чисел $a^2 + ab + b^2$ всегда является целым числом.

Поскольку частное от деления $(a^3 - b^3)$ на $(a-b)$ является целым числом, это доказывает, что $(a^3 - b^3)$ делится на $(a-b)$ нацело. Следовательно, разность чисел $(a-b)$ является делителем разности их кубов $(a^3 - b^3)$.

Ответ: Утверждение верно. Разность кубов $a^3 - b^3$ раскладывается на множители $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Поскольку второй множитель $(a^2 + ab + b^2)$ является целым числом при любых натуральных $a$ и $b$, то $a^3 - b^3$ всегда делится на $(a-b)$.