Номер 1.2, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1.2. Может ли среди 103 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно, делящееся:

а) на 52;

б) на 51;

в) на 103;

г) на 10 003?

Пусть имеется последовательность из 103 идущих подряд натуральных чисел. Обозначим количество чисел в последовательности как $L=103$, а делитель — как $k$.

Количество чисел, кратных $k$, в любой последовательности из $L$ подряд идущих целых чисел равно либо $\lfloor L/k \rfloor$, либо $\lceil L/k \rceil$. Мы хотим, чтобы это количество было равно 1.

Рассмотрим два случая:

1. $\lceil L/k \rceil = 1$. Это неравенство эквивалентно $0 < L/k \le 1$, что для натуральных $L$ и $k$ означает $L \le k$. В нашем случае, $k \ge 103$. Если $k \ge 103$, можно подобрать такую последовательность, в которой будет ровно одно число, кратное $k$.
2. $\lfloor L/k \rfloor = 1$. Это неравенство эквивалентно $1 \le L/k < 2$, что означает $L/2 < k \le L$. В нашем случае, $103/2 < k \le 103$, то есть $51.5 < k \le 103$. Для целых $k$ это означает $52 \le k \le 103$. В этом случае также можно подобрать последовательность с ровно одним кратным $k$.

Объединяя оба случая, мы приходим к выводу, что среди 103 идущих подряд натуральных чисел может быть ровно одно, делящееся на $k$, тогда и только тогда, когда $k > 51.5$, то есть $k \ge 52$.

Если же $k \le 51$, то $103/k \ge 103/51 > 2$. Это означает, что $\lfloor 103/k \rfloor \ge 2$, следовательно, в любой последовательности из 103 чисел будет как минимум два числа, делящихся на $k$.

Теперь применим этот вывод к каждому из пунктов задачи.

а) на 52;

Здесь $k=52$. Так как $52 > 51.5$, это возможно. Например, рассмотрим последовательность натуральных чисел от 1 до 103. Числа, делящиеся на 52, имеют вид $52 \cdot m$, где $m$ - натуральное число. При $m=1$ получаем число 52, которое принадлежит нашей последовательности ($1 \le 52 \le 103$). При $m=2$ получаем число $52 \cdot 2 = 104$, которое уже не входит в последовательность ($104 > 103$). Таким образом, в этой последовательности ровно одно число делится на 52.

Ответ: Да, может.

б) на 51;

Здесь $k=51$. Так как $51 < 51.5$, это невозможно. В любой последовательности из 103 подряд идущих натуральных чисел будет как минимум два числа, делящихся на 51. Докажем это от противного. Предположим, что существует такая последовательность (начинающаяся с числа $n$) $n, n+1, \dots, n+102$, в которой есть ровно одно число $A$, кратное 51. Тогда число $A$ находится в этой последовательности, а соседние кратные ему числа, $A-51$ и $A+51$, находятся вне ее. Это означает, что должны выполняться следующие неравенства: $A-51 < n$ $A+51 > n+102$ Из второго неравенства следует $A > n+102-51$, то есть $A > n+51$. Из первого неравенства следует $A < n+51$. Мы получили противоречие: $n+51 < A < n+51$. Такого числа $A$ существовать не может. Следовательно, наше предположение неверно, и не существует такой последовательности, в которой было бы ровно одно число, кратное 51.

Ответ: Нет, не может.

в) на 103;

Здесь $k=103$. Так как $103 > 51.5$, это возможно. Рассмотрим последовательность натуральных чисел от 1 до 103. В этой последовательности единственное число, которое делится на 103, — это само число 103. Следующее кратное, 206, очевидно, не входит в последовательность.

Ответ: Да, может.

г) на 10 003?

Здесь $k=10003$. Так как $10003 > 51.5$, это возможно. Чтобы показать это, достаточно привести пример. Рассмотрим последовательность из 103 натуральных чисел, начинающуюся с 10003: $10003, 10004, \dots, 10105$. Число 10003 делится на 10003 и входит в эту последовательность. Следующее число, кратное 10003, это $2 \cdot 10003 = 20006$. Оно не входит в нашу последовательность, так как $20006 > 10105$. Таким образом, в этой последовательности ровно одно число делится на 10003.

Ответ: Да, может.