Номер 1.5, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите утверждение:

1.5. a) Если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на натуральное число $p$, то $(n + m) : p$ и $(n - m) : p$.*

б) Если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на натуральное число $p$, а $x, y$ — произвольные натуральные числа, то $(nx \pm my) : p$.

в) Если натуральное число $n$ делится на натуральное число $p$, а натуральное $m$ не делится на $p$, то ни сумма $n + m$, ни разность $n - m$ не делятся на $p$.

г) Если сумма натуральных чисел и каждое её слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число $p$, то и это последнее слагаемое делится на $p$.

а)

Пусть натуральные числа $n$ и $m$ делятся на натуральное число $p$. По определению делимости, это означает, что существуют такие натуральные числа $k$ и $l$, что можно записать равенства: $n = k \cdot p$ и $m = l \cdot p$.

Рассмотрим сумму этих чисел: $n + m = k \cdot p + l \cdot p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $n + m = (k + l) \cdot p$. Так как $k$ и $l$ — натуральные числа, их сумма $(k + l)$ также является натуральным числом. Обозначим $q = k + l$, где $q$ — натуральное число. Тогда $n + m = q \cdot p$. Это по определению означает, что сумма $(n + m)$ делится нацело на $p$.

Теперь рассмотрим разность этих чисел (будем считать, что $n \ge m$, чтобы разность была неотрицательной): $n - m = k \cdot p - l \cdot p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $n - m = (k - l) \cdot p$. Так как $n \ge m$, то $k \cdot p \ge l \cdot p$, и поскольку $p > 0$, то $k \ge l$. Значит, $(k - l)$ — неотрицательное целое число. Обозначим $r = k - l$. Тогда $n - m = r \cdot p$. Это по определению означает, что разность $(n - m)$ делится нацело на $p$.

Таким образом, если каждое из натуральных чисел $n$ и $m$ делится на $p$, то их сумма и разность также делятся на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть натуральные числа $n$ и $m$ делятся на натуральное число $p$. Это означает, что $n = k \cdot p$ и $m = l \cdot p$ для некоторых натуральных чисел $k$ и $l$. Пусть $x$ и $y$ — произвольные натуральные числа.

Рассмотрим выражение $nx + my$: $nx + my = (k \cdot p)x + (l \cdot p)y$. Используя сочетательный закон умножения, перепишем выражение: $nx + my = (kx)p + (ly)p$. Вынесем общий множитель $p$ за скобки: $nx + my = (kx + ly)p$. Поскольку $k, x, l, y$ — натуральные числа, то и $kx + ly$ является натуральным числом. Обозначим $Q = kx + ly$. Тогда $nx + my = Q \cdot p$, что означает, что $nx + my$ делится на $p$.

Аналогично рассмотрим выражение $nx - my$ (предполагая $nx \ge my$): $nx - my = (k \cdot p)x - (l \cdot p)y = (kx)p - (ly)p = (kx - ly)p$. Поскольку $nx \ge my$, то $(kx)p \ge (ly)p$, и так как $p > 0$, то $kx \ge ly$. Значит, $kx - ly$ — неотрицательное целое число. Обозначим $R = kx - ly$. Тогда $nx - my = R \cdot p$, что означает, что $nx - my$ делится на $p$.

Таким образом, для любых натуральных $x, y$ выражения $(nx + my)$ и $(nx - my)$ делятся на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

в)

Докажем данное утверждение методом от противного.

По условию, натуральное число $n$ делится на натуральное число $p$ (обозначается как $n \vdots p$), а натуральное число $m$ не делится на $p$ (обозначается как $m \not\vdots p$).

1. Докажем, что сумма $n+m$ не делится на $p$. Предположим обратное: пусть сумма $(n + m)$ делится на $p$. Тогда мы имеем два числа, $n$ (по условию) и $(n+m)$ (по нашему предположению), каждое из которых делится на $p$. Из утверждения, доказанного в пункте а), следует, что их разность также должна делиться на $p$. Рассмотрим их разность: $(n + m) - n = m$. Следовательно, число $m$ должно делиться на $p$. Но это прямо противоречит условию задачи, в котором сказано, что $m$ не делится на $p$. Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Значит, сумма $(n + m)$ не может делиться на $p$.

2. Докажем, что разность $n-m$ не делится на $p$. Снова предположим обратное: пусть разность $(n - m)$ делится на $p$. Тогда у нас есть два числа, $n$ (по условию) и $(n-m)$ (по нашему предположению), каждое из которых делится на $p$. Согласно утверждению а), их разность также должна делиться на $p$. Рассмотрим их разность: $n - (n - m) = n - n + m = m$. Следовательно, число $m$ должно делиться на $p$. Это опять же противоречит условию, что $m$ не делится на $p$. Значит, наше предположение было неверным, и разность $(n - m)$ не делится на $p$.

Таким образом, доказано, что ни сумма $n+m$, ни разность $n-m$ не делятся на $p$.
Ответ: Утверждение доказано.

г)

Пусть дана сумма $k$ натуральных чисел $S = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1} + a_k$. По условию, сумма $S$ делится на натуральное число $p$, и каждое слагаемое, кроме последнего, также делится на $p$, то есть $a_1 \vdots p, a_2 \vdots p, \dots, a_{k-1} \vdots p$. Требуется доказать, что последнее слагаемое $a_k$ также делится на $p$.

Рассмотрим сумму первых $k-1$ слагаемых: $S' = a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1}$. Поскольку каждое слагаемое в этой сумме ($a_1, \dots, a_{k-1}$) делится на $p$, то на основании утверждения а), примененного последовательно, их сумма $S'$ также делится на $p$. (Строго это доказывается методом математической индукции: база для двух слагаемых доказана в пункте а). Индукционный переход: если сумма $j$ слагаемых, делящихся на $p$, делится на $p$, то и сумма $j+1$ слагаемых, равная (сумма $j$ слагаемых) + ($j+1$-е слагаемое), тоже делится на $p$, так как является суммой двух чисел, делящихся на $p$).

Теперь выразим последнее слагаемое $a_k$ из исходной суммы $S$: $a_k = S - (a_1 + a_2 + \dots + a_{k-1})$. Это можно записать как $a_k = S - S'$.

Мы получили, что $a_k$ является разностью двух чисел: $S$ и $S'$. По условию задачи, $S$ делится на $p$. Как мы только что показали, $S'$ также делится на $p$. Вновь применяем утверждение из пункта а): если два числа делятся на $p$, то и их разность делится на $p$. Следовательно, $a_k = S - S'$ должно делиться на $p$.

Таким образом, последнее слагаемое $a_k$ делится на $p$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.