Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

81. Население посёлка за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения города.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов, так как средний ежегодный процент роста применяется к населению, которое уже увеличилось за предыдущий год. Формула для конечной суммы при сложных процентах выглядит так:

$N_{конечн} = N_{начальн} \cdot (1 + \frac{p}{100})^t$

где:

• $N_{конечн}$ — конечная численность населения;
• $N_{начальн}$ — начальная численность населения;
• $p$ — средний ежегодный процент роста;
• $t$ — количество лет.

По условию задачи мы имеем:

• $N_{начальн} = 20\,000$ человек;
• $N_{конечн} = 22\,050$ человек;
• $t = 2$ года.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $p$:

$22\,050 = 20\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2$

Сначала разделим обе части уравнения на 20 000:

$(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{22\,050}{20\,000}$

Упростим дробь в правой части, сократив ее:

$\frac{22\,050}{20\,000} = \frac{2205}{2000} = \frac{441}{400}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{441}{400}$

Чтобы найти выражение в скобках, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о росте, мы рассматриваем только положительное значение корня.

$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{441}{400}}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{400}} = \frac{21}{20}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства дальнейших вычислений:

$\frac{21}{20} = 1.05$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$1 + \frac{p}{100} = 1.05$

Вычтем 1 из обеих частей, чтобы найти значение $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1.05 - 1 = 0.05$

Наконец, найдем $p$, умножив обе части на 100:

$p = 0.05 \cdot 100 = 5$

Таким образом, средний ежегодный процент роста населения поселка составляет 5%.

Ответ: 5%.

82. Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44 %, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось двукратное снижение цены?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение, отражающее все изменения цены.

Пусть $P_0$ — это первоначальная цена товара, а $x$ — это искомый процент, на который цена понижалась дважды.

1. Первое изменение: повышение цены.

Первоначальная цена была повышена на 44%. Новая цена, назовем ее $P_1$, стала на 44% больше $P_0$. Математически это выражается так:

$P_1 = P_0 + 0.44 \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 + 0.44) = 1.44 \cdot P_0$

2. Второе и третье изменения: двукратное понижение цены.

Затем цена $P_1$ два раза понижалась на одинаковое число процентов $x$.

После первого понижения на $x$% цена стала:

$P_2 = P_1 - \frac{x}{100} \cdot P_1 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

После второго понижения на $x$% окончательная цена $P_{оконч}$ стала:

$P_{оконч} = P_2 - \frac{x}{100} \cdot P_2 = P_2 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Подставив выражение для $P_2$, мы можем выразить окончательную цену через $P_1$:

$P_{оконч} = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

3. Связь между начальной и конечной ценой.

По условию, окончательная цена $P_{оконч}$ оказалась на 19% меньше первоначальной цены $P_0$. Это значит:

$P_{оконч} = P_0 - 0.19 \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 - 0.19) = 0.81 \cdot P_0$

4. Составление и решение уравнения.

Теперь у нас есть два выражения для $P_{оконч}$. Одно через $P_1$, другое через $P_0$. Подставим выражение для $P_1$ в первое уравнение:

$P_{оконч} = (1.44 \cdot P_0) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Теперь приравняем два выражения для $P_{оконч}$:

$(1.44 \cdot P_0) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.81 \cdot P_0$

Поскольку первоначальная цена $P_0$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $P_0$:

$1.44 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.81$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим квадрат скобки:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{0.81}{1.44}$

Дробь $\frac{0.81}{1.44}$ можно упростить, заметив, что оба числа являются квадратами:

$\frac{0.81}{1.44} = \frac{81}{144} = \left(\frac{9}{12}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Наше уравнение принимает вид:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как речь идет о снижении цены, коэффициент изменения $\left(1 - \frac{x}{100}\right)$ должен быть положительным, поэтому мы берем положительное значение корня:

$1 - \frac{x}{100} = \frac{3}{4}$

Переведем дробь в десятичный вид для удобства:

$1 - \frac{x}{100} = 0.75$

Выразим $\frac{x}{100}$:

$\frac{x}{100} = 1 - 0.75$

$\frac{x}{100} = 0.25$

Отсюда находим $x$:

$x = 0.25 \cdot 100 = 25$

Таким образом, каждое из двух снижений цены производилось на 25 процентов.

Ответ: 25.

83. Первый банк дает 5% годовых, а второй — 10%. Вкладчик часть своих денег положил в первый банк, а остальные — во второй. Через 2 года суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Какую долю своих денег положил вкладчик в первый банк?

Для решения задачи обозначим общую сумму денег вкладчика как $S$. Пусть $x$ — это доля денег, которую вкладчик положил в первый банк. Тогда в первый банк он положил сумму $xS$, а во второй банк — оставшуюся часть, то есть $(1-x)S$.

Процентные ставки по вкладам являются годовыми, что предполагает начисление сложных процентов. Формула для расчета итоговой суммы при сложных процентах:$A = P(1 + r)^t$, где:

• $A$ — итоговая сумма,
• $P$ — первоначальная сумма вклада,
• $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби,
• $t$ — количество лет.

1. Расчет итоговой суммы в первом банке.

Процентная ставка в первом банке составляет 5% годовых, то есть $r_1 = 0.05$. Срок вклада — 2 года.Сумма на счете в первом банке через 2 года составит:$A_1 = xS \cdot (1 + 0.05)^2 = xS \cdot (1.05)^2 = 1.1025xS$.

2. Расчет итоговой суммы во втором банке.

Процентная ставка во втором банке составляет 10% годовых, то есть $r_2 = 0.10$. Срок вклада — 2 года.Сумма на счете во втором банке через 2 года составит:$A_2 = (1-x)S \cdot (1 + 0.10)^2 = (1-x)S \cdot (1.1)^2 = 1.21(1-x)S$.

3. Составление уравнения.

Суммарная сумма на обоих вкладах через 2 года будет равна $A_1 + A_2$:$A_{общ} = 1.1025xS + 1.21(1-x)S$.

По условию задачи, суммарное число вложенных денег увеличилось на 18,85%. Это означает, что итоговая сумма составила $100\% + 18.85\% = 118.85\%$ от первоначальной суммы $S$. В виде десятичной дроби это $1.1885S$.

Приравняем два полученных выражения для общей итоговой суммы:$1.1025xS + 1.21(1-x)S = 1.1885S$.

Поскольку начальная сумма $S$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$1.1025x + 1.21(1-x) = 1.1885$.

4. Решение уравнения.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:$1.1025x + 1.21 - 1.21x = 1.1885$

Сгруппируем слагаемые с $x$:$(1.1025 - 1.21)x = 1.1885 - 1.21$

$-0.1075x = -0.0215$

Теперь найдем $x$:$x = \frac{-0.0215}{-0.1075} = \frac{215}{1075}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 5, а затем на 43:$x = \frac{215 \div 5}{1075 \div 5} = \frac{43}{215}$

$x = \frac{43 \div 43}{215 \div 43} = \frac{1}{5}$

Таким образом, доля денег, которую вкладчик положил в первый банк, составляет $1/5$ или 0.2.

Ответ: вкладчик положил в первый банк $1/5$ своих денег.

Найдите область определения функции

84. a) $y = \sqrt{3 - 9x}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}};$

в) $y = \sqrt{36 - x^2};$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{3 - 9x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$3 - 9x \ge 0$
Перенесем $9x$ в правую часть:
$3 \ge 9x$
Разделим обе части на 9:
$\frac{3}{9} \ge x$
$x \le \frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции – это числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{1}{3}$ включительно.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

б) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$ выражение под корнем находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($5x + 3 \ge 0$), а во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{5x + 3} \ne 0$). Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$5x + 3 > 0$
$5x > -3$
$x > -\frac{3}{5}$
Область определения функции – это все числа, строго большие $-\frac{3}{5}$.
Ответ: $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{36 - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$36 - x^2 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(6 - x)(6 + x) \ge 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(6 - x)(6 + x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 6)$, $(6, +\infty)$.
Поскольку ветви параболы $y = 36 - x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), то неотрицательные значения функция принимает на интервале между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $-6 \le x \le 6$.
Ответ: $x \in [-6, 6]$.

г) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}}$ подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$4x^2 - 8x > 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x - 2) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $4x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.
Поскольку ветви параболы $y = 4x^2 - 8x$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), то положительные значения функция принимает на интервалах вне отрезка между корнями.
Следовательно, $x < 0$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.

85. a) $y = \sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}}$;

б) $y = \sqrt{-x^2 - 11x - 28}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 10}$;

г) $y = \sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}}$ находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{\frac{1}{x^2 + 7x + 12}}$.

Так как подкоренное выражение представляет собой дробь, оно будет неотрицательным, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, и знаменатель не равен нулю. Числитель равен 1, то есть он положителен. Следовательно, знаменатель также должен быть строго положителен:

$x^2 + 7x + 12 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, \infty)$

б) Для функции $y = \sqrt{-x^2 - 11x - 28}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$-x^2 - 11x - 28 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 11x + 28 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 28 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 11x + 28$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \leq 0$ выполняется для значений $x$ между корнями, включая сами корни.

Следовательно, область определения функции: $x \in [-7, -4]$.

Ответ: $x \in [-7, -4]$

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 6x + 10}$ находится из условия:

$x^2 + 6x + 10 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = x^2 + 6x + 10$. Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения $x^2 + 6x + 10 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох и полностью расположена над ней.

Таким образом, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Альтернативно, можно выделить полный квадрат: $x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$, что всегда больше нуля.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$

г) Для функции $y = \sqrt{-x^2 + 2x - 1}$ область определения задается условием:

$-x^2 + 2x - 1 \geq 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 2x + 1 \leq 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом:

$(x-1)^2 \leq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \geq 0$. Единственный случай, когда выполняется условие $(x-1)^2 \leq 0$, — это когда $(x-1)^2 = 0$.

Это равенство достигается только при $x-1 = 0$, то есть при $x=1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одного единственного числа.

Ответ: $x = 1$

86. a) $y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2};$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 2}}.$

a)

Дана функция $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае у нас есть два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \ge -1$.

2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным. Оно должно быть неотрицательным, так как находится под корнем, и не должно быть равно нулю, так как находится в знаменателе. Объединяя эти два требования, получаем строгое неравенство: $x - 2 > 0$. Решая его, получаем $x > 2$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение этих двух условий, то есть решить систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x > 2 \end{cases}$

Общим решением системы является более сильное неравенство $x > 2$, так как если $x$ больше 2, то он автоматически больше -1. Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б)

Дана функция $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$.

В этой функции вся дробь находится под одним знаком квадратного корня. Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$\frac{x+1}{x-2} \ge 0$

Это дробно-рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нули знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка не входит в область определения, так как знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому точка будет "выколотой".

3. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x+1}{x-2}$ в получившихся интервалах.

– Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем пробную точку $x = -2$: $\frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+".

– Для интервала $(-1; 2)$ возьмем пробную точку $x = 0$: $\frac{0+1}{0-2} = -\frac{1}{2} < 0$. Знак "-".

– Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 3$: $\frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это промежутки $(-\infty; -1]$ и $(2; +\infty)$. Точка $x=-1$ включается в ответ, а точка $x=2$ исключается.

Таким образом, область определения функции является объединением этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$

87. а) $y = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{x + 2}$

б) $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 16}$

а) $y = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{x + 2}$

Для нахождения области определения функции необходимо выполнить два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю): $25 - x^2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Это неравенство справедливо для всех $x$, находящихся в промежутке от $-5$ до $5$ включительно, то есть $x \in [-5, 5]$.

Теперь решим второе условие:

$x + 2 \neq 0$

$x \neq -2$

Чтобы найти область определения функции, нужно объединить оба условия. Это означает, что из отрезка $[-5, 5]$ необходимо исключить точку $x = -2$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $D(y) = [-5, -2) \cup (-2, 5]$.

б) $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 16}$

Для нахождения области определения функции необходимо выполнить два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 3 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-3, +\infty)$.

Теперь решим второе условие:

$x^2 - 16 \neq 0$

$x^2 \neq 16$

Отсюда следует, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Объединим оба условия. Нам подходят все значения $x$, которые больше или равны $-3$, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль.

Значение $x = -4$ не входит в промежуток $x \ge -3$, поэтому его не нужно рассматривать. Значение $x = 4$ входит в этот промежуток, поэтому его необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции — это все числа из промежутка $[-3, +\infty)$, кроме числа $4$.

Ответ: $D(y) = [-3, 4) \cup (4, +\infty)$.

88. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $ \frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x} $;

б) $ \frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5} $;

в) $ \frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x} $;

г) $ \frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x} $.

Для того чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, необходимо найти область определения каждой функции. Для выражений, содержащих дробь и квадратный корень, должны выполняться два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) Выражение $\frac{\sqrt{3 - 5x - 2x^2}}{7x}$ имеет смысл, если одновременно выполняются следующие условия:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не равен нулю: $7x \ne 0$.

Решим первое неравенство $3 - 5x - 2x^2 \ge 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $-2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{-4} = \frac{12}{-4} = -3$.
Графиком функции $y = -2x^2 - 5x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, неравенство $-2x^2 - 5x + 3 \ge 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-3, \frac{1}{2}]$.

Решим второе условие: $7x \ne 0$, откуда $x \ne 0$.

Теперь объединим оба условия: из отрезка $[-3, \frac{1}{2}]$ необходимо исключить точку $x=0$.

Ответ: $x \in [-3, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

б) Выражение $\frac{\sqrt{3x^2 - x - 14}}{2x + 5}$ имеет смысл при выполнении условий:

1. $3x^2 - x - 14 \ge 0$.

2. $2x + 5 \ne 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 14 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(3)(-14) = 1 + 168 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 13}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + 13}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Графиком функции $y = 3x^2 - x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $3x^2 - x - 14 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

Из второго условия $2x + 5 \ne 0$ получаем $2x \ne -5$, то есть $x \ne -2.5$.

Совместим оба условия. Точка $x = -2.5$ попадает в промежуток $(-\infty, -2]$, поэтому ее необходимо исключить.

Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (-2.5, -2] \cup [\frac{7}{3}, +\infty)$.

в) Выражение $\frac{\sqrt{2 - 5x - 3x^2}}{9x}$ имеет смысл, если:

1. $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$.

2. $9x \ne 0$.

Решим первое неравенство $2 - 5x - 3x^2 \ge 0$. Найдем корни уравнения $-3x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(-3)(2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 7}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + 7}{-6} = \frac{12}{-6} = -2$.
Ветви параболы $y = -3x^2 - 5x + 2$ направлены вниз, значит, неравенство $\ge 0$ выполняется между корнями.
Решение неравенства: $x \in [-2, \frac{1}{3}]$.

Второе условие: $9x \ne 0$, откуда $x \ne 0$.

Объединяя решения, исключаем точку $x=0$ из отрезка $[-2, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$.

г) Выражение $\frac{\sqrt{3x^2 - 4x - 15}}{7 - 2x}$ имеет смысл, когда:

1. $3x^2 - 4x - 15 \ge 0$.

2. $7 - 2x \ne 0$.

Решим первое неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(3)(-15) = 16 + 180 = 196 = 14^2$.
Корни: $x_1 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 15$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках вне корней.
Решение: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, +\infty)$.

Из второго условия $7 - 2x \ne 0$ получаем $2x \ne 7$, то есть $x \ne 3.5$.

Совмещая условия, мы должны исключить точку $x = 3.5$ из полученного множества. Точка $3.5$ принадлежит промежутку $[3, +\infty)$, поэтому этот промежуток разбивается на два.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [3, 3.5) \cup (3.5, +\infty)$.