Номер 82, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

82. Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44 %, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19 % меньше первоначальной. На сколько процентов производилось двукратное снижение цены?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение, отражающее все изменения цены.

Пусть $P_0$ — это первоначальная цена товара, а $x$ — это искомый процент, на который цена понижалась дважды.

1. Первое изменение: повышение цены.

Первоначальная цена была повышена на 44%. Новая цена, назовем ее $P_1$, стала на 44% больше $P_0$. Математически это выражается так:

$P_1 = P_0 + 0.44 \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 + 0.44) = 1.44 \cdot P_0$

2. Второе и третье изменения: двукратное понижение цены.

Затем цена $P_1$ два раза понижалась на одинаковое число процентов $x$.

После первого понижения на $x$% цена стала:

$P_2 = P_1 - \frac{x}{100} \cdot P_1 = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

После второго понижения на $x$% окончательная цена $P_{оконч}$ стала:

$P_{оконч} = P_2 - \frac{x}{100} \cdot P_2 = P_2 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Подставив выражение для $P_2$, мы можем выразить окончательную цену через $P_1$:

$P_{оконч} = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = P_1 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

3. Связь между начальной и конечной ценой.

По условию, окончательная цена $P_{оконч}$ оказалась на 19% меньше первоначальной цены $P_0$. Это значит:

$P_{оконч} = P_0 - 0.19 \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 - 0.19) = 0.81 \cdot P_0$

4. Составление и решение уравнения.

Теперь у нас есть два выражения для $P_{оконч}$. Одно через $P_1$, другое через $P_0$. Подставим выражение для $P_1$ в первое уравнение:

$P_{оконч} = (1.44 \cdot P_0) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2$

Теперь приравняем два выражения для $P_{оконч}$:

$(1.44 \cdot P_0) \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.81 \cdot P_0$

Поскольку первоначальная цена $P_0$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $P_0$:

$1.44 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = 0.81$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим квадрат скобки:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \frac{0.81}{1.44}$

Дробь $\frac{0.81}{1.44}$ можно упростить, заметив, что оба числа являются квадратами:

$\frac{0.81}{1.44} = \frac{81}{144} = \left(\frac{9}{12}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Наше уравнение принимает вид:

$\left(1 - \frac{x}{100}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как речь идет о снижении цены, коэффициент изменения $\left(1 - \frac{x}{100}\right)$ должен быть положительным, поэтому мы берем положительное значение корня:

$1 - \frac{x}{100} = \frac{3}{4}$

Переведем дробь в десятичный вид для удобства:

$1 - \frac{x}{100} = 0.75$

Выразим $\frac{x}{100}$:

$\frac{x}{100} = 1 - 0.75$

$\frac{x}{100} = 0.25$

Отсюда находим $x$:

$x = 0.25 \cdot 100 = 25$

Таким образом, каждое из двух снижений цены производилось на 25 процентов.

Ответ: 25.