Номер 84, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите область определения функции

84. a) $y = \sqrt{3 - 9x}$;

б) $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}};$

в) $y = \sqrt{36 - x^2};$

г) $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{3 - 9x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$3 - 9x \ge 0$
Перенесем $9x$ в правую часть:
$3 \ge 9x$
Разделим обе части на 9:
$\frac{3}{9} \ge x$
$x \le \frac{1}{3}$
Таким образом, область определения функции – это числовой промежуток от минус бесконечности до $\frac{1}{3}$ включительно.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3}]$.

б) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{5x + 3}}$ выражение под корнем находится в знаменателе дроби. Это накладывает два условия: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($5x + 3 \ge 0$), а во-вторых, знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{5x + 3} \ne 0$). Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$5x + 3 > 0$
$5x > -3$
$x > -\frac{3}{5}$
Область определения функции – это все числа, строго большие $-\frac{3}{5}$.
Ответ: $x \in (-\frac{3}{5}, +\infty)$.

в) Область определения функции $y = \sqrt{36 - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решим неравенство:
$36 - x^2 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(6 - x)(6 + x) \ge 0$
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Найдем корни соответствующего уравнения $(6 - x)(6 + x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, 6)$, $(6, +\infty)$.
Поскольку ветви параболы $y = 36 - x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), то неотрицательные значения функция принимает на интервале между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $-6 \le x \le 6$.
Ответ: $x \in [-6, 6]$.

г) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 8x}}$ подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
Решим неравенство:
$4x^2 - 8x > 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x - 2) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $4x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.
Поскольку ветви параболы $y = 4x^2 - 8x$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), то положительные значения функция принимает на интервалах вне отрезка между корнями.
Следовательно, $x < 0$ или $x > 2$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.