Номер 85, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

85. a) $y = \sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}}$;

б) $y = \sqrt{-x^2 - 11x - 28}$;

в) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 10}$;

г) $y = \sqrt{-x^2 + 2x - 1}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{(x^2 + 7x + 12)^{-1}}$ находится из условия, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Функцию можно переписать в виде $y = \sqrt{\frac{1}{x^2 + 7x + 12}}$.

Так как подкоренное выражение представляет собой дробь, оно будет неотрицательным, если числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, и знаменатель не равен нулю. Числитель равен 1, то есть он положителен. Следовательно, знаменатель также должен быть строго положителен:

$x^2 + 7x + 12 > 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значит, значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения функции задается объединением интервалов: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, \infty)$

б) Для функции $y = \sqrt{-x^2 - 11x - 28}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения:

$-x^2 - 11x - 28 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 11x + 28 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 28 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 + 11x + 28$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $f(x) \leq 0$ выполняется для значений $x$ между корнями, включая сами корни.

Следовательно, область определения функции: $x \in [-7, -4]$.

Ответ: $x \in [-7, -4]$

в) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 6x + 10}$ находится из условия:

$x^2 + 6x + 10 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = x^2 + 6x + 10$. Это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения $x^2 + 6x + 10 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ох и полностью расположена над ней.

Таким образом, выражение $x^2 + 6x + 10$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Альтернативно, можно выделить полный квадрат: $x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$. Так как $(x+3)^2 \geq 0$, то $(x+3)^2 + 1 \geq 1$, что всегда больше нуля.

Следовательно, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$

г) Для функции $y = \sqrt{-x^2 + 2x - 1}$ область определения задается условием:

$-x^2 + 2x - 1 \geq 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 2x + 1 \leq 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом:

$(x-1)^2 \leq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \geq 0$. Единственный случай, когда выполняется условие $(x-1)^2 \leq 0$, — это когда $(x-1)^2 = 0$.

Это равенство достигается только при $x-1 = 0$, то есть при $x=1$.

Таким образом, область определения функции состоит из одного единственного числа.

Ответ: $x = 1$