Номер 86, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

86. a) $y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2};$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 2}}.$

a)

Дана функция $y = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений переменной $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае у нас есть два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под знаком корня в числителе должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \ge -1$.

2. Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным. Оно должно быть неотрицательным, так как находится под корнем, и не должно быть равно нулю, так как находится в знаменателе. Объединяя эти два требования, получаем строгое неравенство: $x - 2 > 0$. Решая его, получаем $x > 2$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение этих двух условий, то есть решить систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x > 2 \end{cases}$

Общим решением системы является более сильное неравенство $x > 2$, так как если $x$ больше 2, то он автоматически больше -1. Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$

б)

Дана функция $y = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$.

В этой функции вся дробь находится под одним знаком квадратного корня. Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$\frac{x+1}{x-2} \ge 0$

Это дробно-рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нули знаменателя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Эта точка не входит в область определения, так как знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому точка будет "выколотой".

3. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x+1}{x-2}$ в получившихся интервалах.

– Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмем пробную точку $x = -2$: $\frac{-2+1}{-2-2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+".

– Для интервала $(-1; 2)$ возьмем пробную точку $x = 0$: $\frac{0+1}{0-2} = -\frac{1}{2} < 0$. Знак "-".

– Для интервала $(2; +\infty)$ возьмем пробную точку $x = 3$: $\frac{3+1}{3-2} = \frac{4}{1} = 4 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это промежутки $(-\infty; -1]$ и $(2; +\infty)$. Точка $x=-1$ включается в ответ, а точка $x=2$ исключается.

Таким образом, область определения функции является объединением этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2; +\infty)$