Номер 87, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

87. а) $y = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{x + 2}$

б) $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 16}$

а) $y = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{x + 2}$

Для нахождения области определения функции необходимо выполнить два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю): $25 - x^2 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$25 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 25$

Это неравенство справедливо для всех $x$, находящихся в промежутке от $-5$ до $5$ включительно, то есть $x \in [-5, 5]$.

Теперь решим второе условие:

$x + 2 \neq 0$

$x \neq -2$

Чтобы найти область определения функции, нужно объединить оба условия. Это означает, что из отрезка $[-5, 5]$ необходимо исключить точку $x = -2$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $D(y) = [-5, -2) \cup (-2, 5]$.

б) $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 16}$

Для нахождения области определения функции необходимо выполнить два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 3 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 16 \neq 0$.

Решим первое неравенство:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-3, +\infty)$.

Теперь решим второе условие:

$x^2 - 16 \neq 0$

$x^2 \neq 16$

Отсюда следует, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Объединим оба условия. Нам подходят все значения $x$, которые больше или равны $-3$, за исключением тех, которые обращают знаменатель в ноль.

Значение $x = -4$ не входит в промежуток $x \ge -3$, поэтому его не нужно рассматривать. Значение $x = 4$ входит в этот промежуток, поэтому его необходимо исключить.

Таким образом, область определения функции — это все числа из промежутка $[-3, +\infty)$, кроме числа $4$.

Ответ: $D(y) = [-3, 4) \cup (4, +\infty)$.