Номер 91, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

91. Найдите значение k, при котором квадратное уравнение:

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня;

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни;

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней;

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня.

Количество действительных корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Воспользуемся этими правилами для решения каждого пункта.

а) $5x^2 - kx + 5 = 0$ имеет два корня

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -k$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = k^2 - 100$.

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$k^2 - 100 > 0$

$k^2 > 100$

Данное неравенство справедливо, если $k > 10$ или $k < -10$.

Ответ: $k \in (-\infty; -10) \cup (10; \infty)$.

б) $3x^2 + 2kx - (k - 6) = 0$ имеет корни

Уравнение имеет корни (один или два), если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $b = 2k$, $c = -(k - 6) = 6 - k$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (6 - k) = 4k^2 - 12(6 - k) = 4k^2 - 72 + 12k = 4k^2 + 12k - 72$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4k^2 + 12k - 72 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 4 для упрощения:

$k^2 + 3k - 18 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $k^2 + 3k - 18 = 0$. Используя теорему Виета, получаем $k_1 = -6$ и $k_2 = 3$.

Графиком функции $y = k^2 + 3k - 18$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, значения функции неотрицательны при $k$, меньших или равных меньшему корню, и при $k$, больших или равных большему корню.

Ответ: $k \in (-\infty; -6] \cup [3; \infty)$.

в) $3x^2 + 2kx + 12 = 0$ не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 2k$, $c = 12$.

Поскольку коэффициент $b$ является четным числом ($b = 2k$), удобнее использовать "упрощенный" дискриминант $D/4 = (b/2)^2 - ac$:

$D/4 = k^2 - 3 \cdot 12 = k^2 - 36$.

Решим неравенство $D/4 < 0$ (что эквивалентно $D < 0$):

$k^2 - 36 < 0$

$k^2 < 36$

Это неравенство выполняется для всех $k$, находящихся в интервале от -6 до 6.

Ответ: $k \in (-6; 6)$.

г) $2x^2 - kx + k + 6 = 0$ имеет не более одного корня

Уравнение имеет не более одного корня (то есть один корень или не имеет корней), если его дискриминант $D$ неположителен ($D \le 0$).

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -k$, $c = k + 6$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k + 6) = k^2 - 8(k + 6) = k^2 - 8k - 48$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$k^2 - 8k - 48 \le 0$

Найдем корни уравнения $k^2 - 8k - 48 = 0$. С помощью формулы корней квадратного уравнения:

$k = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{8 \pm 16}{2}$.

Корни равны $k_1 = \frac{8 - 16}{2} = -4$ и $k_2 = \frac{8 + 16}{2} = 12$.

Графиком функции $y = k^2 - 8k - 48$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции неположительны при $k$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Ответ: $k \in [-4; 12]$.