Номер 94, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

94. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3, \\ y = x + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 - 4x, \\ y = (x + 1)^2 - 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2x + 5, \\ y = -x^2 + 8x - 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6, \\ y = -(x - 4)^2 + 2. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3 \\ y = x + 6 \end{cases}$ графически. Для этого построим графики обеих функций в одной системе координат.

График функции $y = (x + 3)^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке $(-3, -3)$. Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих параболе: $(-5, 1)$, $(-4, -2)$, $(-2, -2)$, $(-1, 1)$, $(0, 6)$.

График функции $y = x + 6$ — это прямая. Для её построения достаточно двух точек, например, $(0, 6)$ и $(-5, 1)$.

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Эти точки и будут решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты $(-5, 1)$ и $(0, 6)$.

Ответ: $(-5, 1)$, $(0, 6)$.

б)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = (x + 1)^2 - 1 \end{cases}$ графически.

Сначала построим график функции $y = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты её вершины: $x_0 = -(-4)/(2 \cdot (-1)) = -2$, $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = 4$. Вершина находится в точке $(-2, 4)$. Несколько точек для построения: $(0, 0)$, $(-1, 3)$, $(-3, 3)$, $(-4, 0)$.

Теперь построим график функции $y = (x + 1)^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(-1, -1)$. Несколько точек для построения: $(0, 0)$, $(-2, 0)$, $(-3, 3)$.

Нанеся оба графика на одну координатную плоскость, определим координаты их точек пересечения. Это точки $(-3, 3)$ и $(0, 0)$.

Ответ: $(-3, 3)$, $(0, 0)$.

в)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = -x^2 + 8x - 3 \end{cases}$ графически.

График функции $y = 2x + 5$ — это прямая. Для её построения возьмем две точки, например, $(0, 5)$ и $(2, 9)$.

График функции $y = -x^2 + 8x - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Координаты её вершины: $x_0 = -8/(2 \cdot (-1)) = 4$, $y_0 = -(4)^2 + 8(4) - 3 = 13$. Вершина находится в точке $(4, 13)$. Несколько точек для построения: $(2, 9)$, $(3, 12)$, $(5, 12)$, $(6, 9)$.

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения прямой и параболы — это решения системы. Из графиков видно, что они пересекаются в точках с координатами $(2, 9)$ и $(4, 13)$.

Ответ: $(2, 9)$, $(4, 13)$.

г)

Решим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6 \\ y = -(x - 4)^2 + 2 \end{cases}$ графически.

Построим график функции $y = x^2 - 6x + 6$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина находится в точке $(3, -3)$, что можно найти по формулам $x_0 = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$ и $y_0 = 3^2 - 6(3) + 6 = -3$. Для построения используем точки: $(1, 1)$, $(2, -2)$, $(4, -2)$, $(5, 1)$.

Построим график функции $y = -(x - 4)^2 + 2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(4, 2)$. Для построения используем точки: $(2, -2)$, $(3, 1)$, $(5, 1)$, $(6, -2)$.

Построив обе параболы в одной системе координат, находим их точки пересечения. Координаты этих точек: $(2, -2)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, -2)$, $(5, 1)$.