Номер 81, страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

81. Население посёлка за два года увеличилось с 20 000 до 22 050 человек. Найдите средний ежегодный процент роста населения города.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой сложных процентов, так как средний ежегодный процент роста применяется к населению, которое уже увеличилось за предыдущий год. Формула для конечной суммы при сложных процентах выглядит так:

$N_{конечн} = N_{начальн} \cdot (1 + \frac{p}{100})^t$

где:

• $N_{конечн}$ — конечная численность населения;
• $N_{начальн}$ — начальная численность населения;
• $p$ — средний ежегодный процент роста;
• $t$ — количество лет.

По условию задачи мы имеем:

• $N_{начальн} = 20\,000$ человек;
• $N_{конечн} = 22\,050$ человек;
• $t = 2$ года.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $p$:

$22\,050 = 20\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2$

Сначала разделим обе части уравнения на 20 000:

$(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{22\,050}{20\,000}$

Упростим дробь в правой части, сократив ее:

$\frac{22\,050}{20\,000} = \frac{2205}{2000} = \frac{441}{400}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{441}{400}$

Чтобы найти выражение в скобках, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как речь идет о росте, мы рассматриваем только положительное значение корня.

$1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{441}{400}}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{\frac{441}{400}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{400}} = \frac{21}{20}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для удобства дальнейших вычислений:

$\frac{21}{20} = 1.05$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$1 + \frac{p}{100} = 1.05$

Вычтем 1 из обеих частей, чтобы найти значение $\frac{p}{100}$:

$\frac{p}{100} = 1.05 - 1 = 0.05$

Наконец, найдем $p$, умножив обе части на 100:

$p = 0.05 \cdot 100 = 5$

Таким образом, средний ежегодный процент роста населения поселка составляет 5%.

Ответ: 5%.