Номер 74, страница 13, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

74. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает $40\%$ задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить всё задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $t_1$ и $t_2$ — это время в часах, за которое первый и второй рабочий соответственно могут выполнить всю работу, действуя в одиночку. Тогда их производительность (объем работы, выполняемый за один час) будет равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ и $v_2 = \frac{1}{t_2}$. Всю работу примем за 1.

Исходя из первого условия, что двое рабочих вместе справляются с заданием за 2 часа, мы можем составить первое уравнение. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$, и за 2 часа они выполняют всю работу:

$(v_1 + v_2) \cdot 2 = 1 \implies v_1 + v_2 = \frac{1}{2}$

Подставим выражения для производительности через время:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2}$ (1)

Второе условие гласит, что если один из них сделает 40% (то есть 0,4) задания, а затем второй — оставшуюся часть (100% - 40% = 60%, то есть 0,6), на выполнение всего задания понадобится 4 часа. Это условие создает два возможных сценария, так как не указано, какой именно рабочий начинает.

Случай А: Первый рабочий выполняет 40% задания, а второй — 60%.
Время, которое потратит первый рабочий, равно $0.4 \cdot t_1$.
Время, которое потратит второй рабочий, равно $0.6 \cdot t_2$.
Общее время составляет 4 часа, что дает нам второе уравнение:

$0.4t_1 + 0.6t_2 = 4$ (2а)

Случай Б: Второй рабочий выполняет 40% задания, а первый — 60%.
В этом случае уравнение будет таким:

$0.6t_1 + 0.4t_2 = 4$ (2б)

Решим систему уравнений, например, для Случая Б.

Система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{2} \\ 0.6t_1 + 0.4t_2 = 4 \end{cases}$

Из второго уравнения (умножим его на 10 и разделим на 2 для удобства) выразим $t_1$:

$6t_1 + 4t_2 = 40 \implies 3t_1 + 2t_2 = 20 \implies 3t_1 = 20 - 2t_2 \implies t_1 = \frac{20 - 2t_2}{3}$

Теперь преобразуем первое уравнение системы, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{2} \implies 2(t_1 + t_2) = t_1 t_2$

Подставим в него выражение для $t_1$:

$2\left(\frac{20 - 2t_2}{3} + t_2\right) = \left(\frac{20 - 2t_2}{3}\right) \cdot t_2$

Упростим выражение в скобках в левой части:

$2\left(\frac{20 - 2t_2 + 3t_2}{3}\right) = 2\left(\frac{20 + t_2}{3}\right) = \frac{40 + 2t_2}{3}$

Теперь приравняем левую и правую части:

$\frac{40 + 2t_2}{3} = \frac{20t_2 - 2t_2^2}{3}$

Умножим обе части на 3 и соберем все члены в одной стороне, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$40 + 2t_2 = 20t_2 - 2t_2^2$

$2t_2^2 - 18t_2 + 40 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$t_2^2 - 9t_2 + 20 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: сумма корней равна 9, а их произведение равно 20. Это числа 4 и 5.

1. Если $t_2 = 4$ часа, то найдем $t_1$ из выражения $t_1 = \frac{20 - 2t_2}{3}$:
$t_1 = \frac{20 - 2(4)}{3} = \frac{20-8}{3} = \frac{12}{3} = 4$.
В этом случае $t_1 = t_2 = 4$, что означает, что производительность рабочих одинаковая. Это противоречит условию задачи, где сказано, что производительность у них различная.

2. Если $t_2 = 5$ часов, то найдем $t_1$:
$t_1 = \frac{20 - 2(5)}{3} = \frac{20-10}{3} = \frac{10}{3}$.
В этом случае времена выполнения работы $t_1 = \frac{10}{3}$ часа и $t_2 = 5$ часов — различны, что соответствует условию задачи.

Если бы мы решали систему для Случая А, мы бы получили те же значения, только $t_1=5$ и $t_2=10/3$. Поскольку в задаче не уточняется, какой из рабочих "первый", а какой "второй", то набор времен выполнения работы для двух рабочих один и тот же.

Таким образом, один из рабочих выполняет всю работу за 5 часов, а другой — за $\frac{10}{3}$ часа.

Переведем $\frac{10}{3}$ часа в часы и минуты:

$\frac{10}{3} \text{ ч} = 3\frac{1}{3} \text{ ч} = 3 \text{ часа} + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ минут} = 3 \text{ часа } 20 \text{ минут}.$

Ответ: Один рабочий сможет выполнить все задание за 5 часов, а другой — за 3 часа 20 минут.