Номер 71, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

71. Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч быстрее, чем второй комбайн. За какое время может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Примем всю работу за единицу (1).

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый комбайн может выполнить всю работу, работая один.

Согласно условию, первый комбайн выполняет задание на 5 часов быстрее, чем второй. Следовательно, второму комбайну потребуется $x + 5$ часов на выполнение той же работы в одиночку.

Производительность первого комбайна составляет $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второго — $\frac{1}{x+5}$ часть работы в час.

Работая вместе, их совместная производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

Известно, что совместно они выполняют работу за 6 часов. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x+5}{x(x+5)} + \frac{x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{x+5+x}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:
$6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-7) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-(-7) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Так как $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $x=10$.

Таким образом, первому комбайну для выполнения задания в одиночку потребуется 10 часов.

Проверка:
Время первого комбайна: 10 ч.
Время второго комбайна: $10 + 5 = 15$ ч.
Их совместная производительность: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
Время совместной работы: $1 / (\frac{1}{6}) = 6$ часов. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: первый комбайн может выполнить задание за 10 часов, работая один.