Номер 69, страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

69. Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Пусть $x$ — количество изделий, которое бригада должна была изготовлять в день по плану. Тогда плановое время на выполнение всего заказа (120 изделий) составляет $\frac{120}{x}$ дней.

По условию, бригада изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось. Следовательно, фактическая производительность бригады составила $(x + 2)$ изделия в день.

Фактическое время, затраченное на выполнение работы, составило $\frac{120}{x+2}$ дней.

Известно, что работа была закончена на 3 дня раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем выполнения работы равна 3 дням. На основе этого можно составить уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+2} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$, при этом $x$ должно быть больше 0:

$\frac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 120x}{x^2 + 2x} = 3$

$\frac{240}{x^2 + 2x} = 3$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + 2x$:

$240 = 3(x^2 + 2x)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку $x$ представляет собой количество изделий, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным решением является $x=8$.

Таким образом, по плану бригада должна была изготовлять 8 изделий в день.

Проверка: Плановое время: $\frac{120}{8} = 15$ дней. Фактическая производительность: $8 + 2 = 10$ изделий в день. Фактическое время: $\frac{120}{10} = 12$ дней. Разница во времени: $15 - 12 = 3$ дня, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8 изделий.