Номер 62, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

62. Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере собирать лекарственные травы. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трёхчасовую остановку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если всё путешествие заняло 7 ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние, пройденное в одну сторону, равное 35 км.
• $T_{общ}$ – общее время путешествия, равное 7 ч.
• $T_{ост}$ – время остановки, равное 3 ч.
• $v_{теч}$ – скорость течения реки, равная 3 км/ч.
• $v_{соб}$ – собственная скорость катера (скорость в стоячей воде), которую необходимо найти. Обозначим ее как $x$ км/ч.

1. Сначала найдем общее время, которое катер находился в движении. Для этого из общего времени путешествия вычтем время остановки:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{ост} = 7 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 4 \text{ ч}.$

2. Выразим скорость катера по течению и против течения:

• Скорость по течению (вниз по реке): $v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = (x + 3)$ км/ч.
• Скорость против течения (обратный путь): $v_{пр} = v_{соб} - v_{теч} = (x - 3)$ км/ч.

Для того чтобы катер мог вернуться назад (плыть против течения), его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

3. Время, затраченное на путь по течению ($t_{по}$) и против течения ($t_{пр}$), можно выразить через расстояние и скорость, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

• Время по течению: $t_{по} = \frac{35}{x+3}$ ч.
• Время против течения: $t_{пр} = \frac{35}{x-3}$ ч.

4. Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:

$T_{движ} = t_{по} + t_{пр}$

Подставим известные значения и выражения в это уравнение:

$\frac{35}{x+3} + \frac{35}{x-3} = 4$

5. Решим полученное уравнение относительно $x$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$:

$\frac{35(x-3) + 35(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 4$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{35x - 105 + 35x + 105}{x^2 - 9} = 4$

Упростим числитель:

$\frac{70x}{x^2 - 9} = 4$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 9$ (при условии, что $x^2 - 9 \neq 0$, что выполняется, так как $x > 3$):

$70x = 4(x^2 - 9)$

$70x = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$4x^2 - 70x - 36 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$2x^2 - 35x - 18 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-35)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 + 37}{4} = \frac{72}{4} = 18$

$x_2 = \frac{35 - \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{35 - 37}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Поскольку скорость катера не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -0.5$ не является решением задачи. Корень $x_1 = 18$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость катера в стоячей воде составляет 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.