Номер 57, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

57. Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?

Пусть $S$ - расстояние от города до турбазы, $S=30$ км.Пусть $v$ (км/ч) - первоначальная скорость велосипедиста.

Время, затраченное на путь из города до турбазы, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{30}{v}$ часов.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа со скоростью $v$, проехав расстояние $S_1 = 2v$ км.Оставшееся расстояние $S_2 = 30 - 2v$ км он ехал со скоростью $v+3$ км/ч.Время, затраченное на вторую часть обратного пути, равно $t_{обр2} = \frac{30 - 2v}{v + 3}$ часов.Общее время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = 2 + t_{обр2} = 2 + \frac{30 - 2v}{v + 3}$ часов.

По условию, на обратный путь велосипедист затратил на 6 минут меньше. Переведем 6 минут в часы: 6 мин = $\frac{6}{60}$ ч = $\frac{1}{10}$ ч.Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени составляет $\frac{1}{10}$ часа:$t_1 - t_2 = \frac{1}{10}$$\frac{30}{v} - \left(2 + \frac{30 - 2v}{v + 3}\right) = \frac{1}{10}$

Решим полученное уравнение:$\frac{30}{v} - 2 - \frac{30 - 2v}{v + 3} = \frac{1}{10}$$\frac{30}{v} - \frac{30 - 2v}{v + 3} = 2 + \frac{1}{10}$$\frac{30(v+3) - v(30-2v)}{v(v+3)} = \frac{21}{10}$$\frac{30v + 90 - 30v + 2v^2}{v^2 + 3v} = \frac{21}{10}$$\frac{2v^2 + 90}{v^2 + 3v} = \frac{21}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):$10(2v^2 + 90) = 21(v^2 + 3v)$$20v^2 + 900 = 21v^2 + 63v$$21v^2 - 20v^2 + 63v - 900 = 0$$v^2 + 63v - 900 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 3969 + 3600 = 7569$$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$$v_1 = \frac{-63 + 87}{2} = \frac{24}{2} = 12$$v_2 = \frac{-63 - 87}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость велосипедиста была $v = 12$ км/ч.

Теперь найдем время, которое велосипедист затратил на обратный путь ($t_2$).Время на путь до турбазы: $t_1 = \frac{30}{12} = 2.5$ часа.Время на обратный путь на 6 минут (0.1 часа) меньше: $t_2 = t_1 - 0.1 = 2.5 - 0.1 = 2.4$ часа.Переведем 2.4 часа в часы и минуты: $2.4$ ч = 2 часа и $0.4 \cdot 60$ мин = 2 часа 24 минуты.

Ответ: велосипедист затратил на обратный путь 2 часа 24 минуты.