Номер 55, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

55. a) $\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \ge 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \ge 0. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - x - 56 < 0, \\ x + 4 \geqslant 0; \end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 56 < 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 56 = 0$.
Используем теорему Виета или формулу для корней. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - x - 56$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-7; 8)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x + 4 \geqslant 0$.
$x \geqslant -4$.
Решение второго неравенства: $x \in [-4; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти общие значения для промежутков $(-7; 8)$ и $[-4; +\infty)$.
На числовой прямой это будет интервал, который начинается в точке -4 (включительно) и заканчивается в точке 8 (не включительно).
Таким образом, решение системы неравенств: $x \in [-4; 8)$.

Ответ: $[-4; 8)$.

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x - 10 < 0, \\ x^2 - 2x - 63 \geqslant 0. \end{cases}$

1. Сначала решим первое неравенство $x - 10 < 0$.
$x < 10$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 10)$.

2. Теперь решим второе неравенство $x^2 - 2x - 63 \geqslant 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 = 16^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 16}{2} = -7$.
$x_2 = \frac{-(-2) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 16}{2} = 9$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 63$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше или равны нулю на лучах левее первого корня и правее второго корня, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -7] \cup [9; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти общие значения для $x < 10$ и $x \in (-\infty; -7] \cup [9; +\infty)$.
Рассмотрим пересечение с каждым из промежутков отдельно:
$(-\infty; 10) \cap (-\infty; -7] = (-\infty; -7]$.
$(-\infty; 10) \cap [9; +\infty) = [9; 10)$.
Объединяем полученные результаты.
Таким образом, решение системы неравенств: $x \in (-\infty; -7] \cup [9; 10)$.

Ответ: $(-\infty; -7] \cup [9; 10)$.