Номер 48, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48. а) $x^2 - 81 \le 0$;

б) $-x^2 > 4x$;

в) $121 \le x^2$;

г) $x^2 - 2x < 0$.

Для решения квадратных неравенств обычно находят корни соответствующего квадратного уравнения, а затем определяют знаки на интервалах или используют свойства параболы.

а) $x^2 - 81 \le 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x - 9)(x + 9) \le 0$

Корни уравнения: $x = 9$ и $x = -9$. Парабола ветвями направлена вверх, значения меньше или равны нулю находятся между корнями.

Ответ: $x \in [-9; 9]$

б) $-x^2 > 4x$

Перенесем всё в одну сторону и умножим на $-1$, не забыв поменять знак неравенства:

$-x^2 - 4x > 0 \Rightarrow x^2 + 4x < 0$

Вынесем общий множитель: $x(x + 4) < 0$.

Корни: $x = 0$ и $x = -4$. Знак "<" при положительном коэффициенте перед $x^2$ означает интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-4; 0)$

в) $121 \le x^2$

Перепишем в привычном виде: $x^2 \ge 121$.

$x^2 - 121 \ge 0 \Rightarrow (x - 11)(x + 11) \ge 0$.

Корни: $x = 11$ и $x = -11$. Парабола выше нуля "по бокам" от корней.

Ответ: $x \in (-\infty; -11] \cup [11; +\infty)$

г) $x^2 - 2x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 2) < 0$

Корни уравнения: $x = 0$ и $x = 2$. Так как требуется значение меньше нуля, выбираем внутренний интервал.

Ответ: $x \in (0; 2)$