Номер 48, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

48. а) $x^2 - 81 \le 0$;

б) $-x^2 > 4x$;

В) $121 \le x^2$;

Г) $x^2 - 2x < 0$.

а) $x^2 - 81 \le 0$.

Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 81 = 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 9)(x + 9) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -9$ и $x_2 = 9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; 9)$ и $(9; \infty)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 81$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что функция принимает отрицательные значения между корнями и положительные значения вне этого интервала. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), сами корни также включаются в решение.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток, где парабола находится ниже или на оси Ox, то есть отрезок $[-9; 9]$.

Ответ: $x \in [-9; 9]$.

б) $-x^2 > 4x$.

Сначала перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы сравнить с нулем:

$-x^2 - 4x > 0$.

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 + 4x < 0$.

Теперь решим это неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 4) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Функция принимает отрицательные значения между корнями. Поскольку неравенство строгое ($<$), сами корни в решение не входят.

Таким образом, решением является интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

в) $121 \le x^2$.

Перепишем неравенство в более привычном виде, перенеся 121 вправо:

$x^2 - 121 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 121 = 0$.

Используем формулу разности квадратов: $(x - 11)(x + 11) =