Номер 45, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45. Решите уравнение:

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0;$

б) $x^2 + \sqrt{(x + 1)^2} - 3 = 0;$

в) $x^2 + (\sqrt{x - 3})^2 - 9 = 0;$

г) $x^2 + \sqrt{(x - 3)^2} - 9 = 0.$

а) $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 6 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Используем тождество $(\sqrt{x})^2 = x$, которое верно для всех $x$ из ОДЗ. Уравнение принимает вид:

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{5-7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $6$.

б) $x^2 + \sqrt{(x+1)^2} - 3 = 0$

Выражение под корнем $(x+1)^2$ неотрицательно при любом $x$, поэтому ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + |x+1| - 3 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.

$x^2 + x + 1 - 3 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$.

2. Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

$x^2 - (x+1) - 3 = 0$

$x^2 - x - 4 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$

$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Корень $x_3 = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{16} < \sqrt{17}$, то $\frac{1+\sqrt{17}}{2} > \frac{1+4}{2} = 2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -1$.

Корень $x_4 = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$. Так как $\sqrt{17} > \sqrt{1}$, то $1-\sqrt{17} < 0$. $1-\sqrt{17} \approx 1 - 4.12 = -3.12$, значит $\frac{1-\sqrt{17}}{2} \approx -1.56$. Этот корень удовлетворяет условию $x < -1$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $1; \frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

в) $x^2 + (\sqrt{x}-3)^2 - 9 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки: $(\sqrt{x}-3)^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + 3^2 = x - 6\sqrt{x} + 9$.

Подставим в уравнение:

$x^2 + (x - 6\sqrt{x} + 9) - 9 = 0$

$x^2 + x - 6\sqrt{x} = 0$

Вынесем $\sqrt{x}$ за скобки (это возможно, так как $x \ge 0$):

$\sqrt{x}(x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{x} = 0 \implies x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. $x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 6 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 0$ для этого случая, то $t > 0$.

$t^3 + t - 6 = 0$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^3+t-6$. Её производная $f'(t) = 3t^2+1$ всегда положительна, значит, функция $f(t)$ строго возрастает. Следовательно, она может иметь не более одного корня.

Заметим, что $f(1) = 1+1-6 = -4 < 0$ и $f(2) = 8+2-6 = 4 > 0$. Поскольку функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1, 2)$, она имеет единственный корень $t_0$ на этом интервале. Этот корень иррационален.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x_1=0$ и $x_2 = t_0^2$, где $t_0$ — единственный действительный корень уравнения $t^3+t-6=0$.

Ответ: $0$; $x_2$, где $x_2$ — это квадрат единственного положительного корня уравнения $t^3+t-6=0$.

г) $x^2 + \sqrt{(x-3)^2} - 9 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$, так как $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$:

$x^2 + |x-3| - 9 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Тогда $|x-3|=x-3$.

$x^2 + x - 3 - 9 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1=3$, $x_2=-4$.

Корень $x_1=3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Корень $x_2=-4$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$.

2. Если $x-3 < 0$, то есть $x < 3$. Тогда $|x-3|=-(x-3)=-x+3$.

$x^2 - x + 3 - 9 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3=3$, $x_4=-2$.

Корень $x_3=3$ не удовлетворяет условию $x < 3$.

Корень $x_4=-2$ удовлетворяет условию $x < 3$.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $-2; 3$.