Номер 46, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

46. a) $2 + 5x > -3$;

б) $1 - 2x \leq 3$;

в) $\frac{2 + x}{10} > \frac{3x - 1}{15}$;

г) $\frac{3x - 1}{8} > \frac{3 - 5x}{20}$.

а) $2 + 5x > -3$
Чтобы решить это линейное неравенство, сначала изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем число 2 из левой части в правую, изменив его знак:
$5x > -3 - 2$
Выполним вычитание в правой части:
$5x > -5$
Теперь разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не меняется:
$x > \frac{-5}{5}$
$x > -1$
Решением является интервал от -1 до плюс бесконечности, не включая -1.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) $1 - 2x \le 3$
Перенесем число 1 из левой части в правую с противоположным знаком:
$-2x \le 3 - 1$
$-2x \le 2$
Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $):
$x \ge \frac{2}{-2}$
$x \ge -1$
Решением является числовой луч от -1 до плюс бесконечности, включая -1.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $\frac{2+x}{10} > \frac{3x-1}{15}$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 10 и 15. НОК(10, 15) = 30. Так как 30 > 0, знак неравенства сохраняется:
$30 \cdot \frac{2+x}{10} > 30 \cdot \frac{3x-1}{15}$
Выполним сокращение:
$3(2+x) > 2(3x-1)$
Раскроем скобки:
$6 + 3x > 6x - 2$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а свободные члены - в другой. Перенесем $3x$ вправо, а -2 влево:
$6 + 2 > 6x - 3x$
$8 > 3x$
Это неравенство эквивалентно $3x < 8$. Разделим обе части на 3:
$x < \frac{8}{3}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $\frac{8}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3})$.

г) $\frac{3x-1}{8} > \frac{3-5x}{20}$
Найдем НОК знаменателей 8 и 20. НОК(8, 20) = 40. Умножим обе части неравенства на 40, знак неравенства не изменится:
$40 \cdot \frac{3x-1}{8} > 40 \cdot \frac{3-5x}{20}$
Сократим дроби:
$5(3x-1) > 2(3-5x)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$15x - 5 > 6 - 10x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа - в правую:
$15x + 10x > 6 + 5$
Приведем подобные слагаемые:
$25x > 11$
Разделим обе части на 25:
$x > \frac{11}{25}$
Решением является интервал от $\frac{11}{25}$ до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (\frac{11}{25}; +\infty)$.