Номер 41, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

41. a) $\sqrt{x} = 2 - x$;

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$;

В) $\sqrt{x + 2} = x$;

Г) $\sqrt{12 - x} = x$.

а) Решим уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$.
Объединив эти условия, получаем ОДЗ для переменной $x$: $0 \le x \le 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является посторонним корнем.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.
Ответ: $1$

б) Решим уравнение $\sqrt{7 - x} = x - 1$.
Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7 - x \ge 0$, то есть $x \le 7$. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Общая ОДЗ: $1 \le x \le 7$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$
$7 - x = x^2 - 2x + 1$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($1 \le x \le 7$).
Корень $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($1 \le 3 \le 7$).
Корень $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=3$.
Ответ: $3$

в) Решим уравнение $\sqrt{x + 2} = x$.
Найдем ОДЗ. Условие для подкоренного выражения: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Условие для правой части: $x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = x^2$
$x + 2 = x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ ($2 \ge 0$).
Корень $x_2 = -1$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=2$.
Ответ: $2$

г) Решим уравнение $\sqrt{12 - x} = x$.
Найдем ОДЗ. Условие для подкоренного выражения: $12 - x \ge 0$, то есть $x \le 12$. Условие для правой части: $x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $0 \le x \le 12$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{12 - x})^2 = x^2$
$12 - x = x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($0 \le x \le 12$).
Корень $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($0 \le 3 \le 12$).
Корень $x_2 = -4$ не принадлежит ОДЗ, так как $-4 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=3$.
Ответ: $3$