Номер 34, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

34. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $\frac{c+5}{c^2-64} : \left( \frac{4}{c+8} - \frac{12}{c^2+16c+64} \right) + \frac{4}{8-c}$

б) $\left( \frac{4}{x-7} + \frac{14}{x^2-14x+49} \right) \cdot \frac{x^2-49}{2x-7} - \frac{7x-21}{x-7}$

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, упростим его по действиям. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: знаменатели не равны нулю ($c^2 - 64 \neq 0$, $c+8 \neq 0$, $c^2+16c+64 \neq 0$, $8-c \neq 0$) и делитель не равен нулю. Это приводит к условиям $c \neq \pm 8$ и $c \neq -5$.

1. Сначала выполним вычитание в скобках. Заметим, что $c^2 + 16c + 64 = (c+8)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4}{c + 8} - \frac{12}{c^2 + 16c + 64} = \frac{4}{c + 8} - \frac{12}{(c+8)^2} = \frac{4(c+8) - 12}{(c+8)^2} = \frac{4c + 32 - 12}{(c+8)^2} = \frac{4c + 20}{(c+8)^2} = \frac{4(c+5)}{(c+8)^2}$

2. Теперь выполним деление. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $c^2 - 64 = (c-8)(c+8)$. Заменяем деление на умножение на обратную дробь и сокращаем:

$\frac{c + 5}{c^2 - 64} : \frac{4(c+5)}{(c+8)^2} = \frac{c + 5}{(c-8)(c+8)} \cdot \frac{(c+8)^2}{4(c+5)} = \frac{1}{c-8} \cdot \frac{c+8}{4} = \frac{c+8}{4(c-8)}$

3. Наконец, выполним сложение. Заметим, что $\frac{4}{8-c} = -\frac{4}{c-8}$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{c+8}{4(c-8)} + \frac{4}{8-c} = \frac{c+8}{4(c-8)} - \frac{4}{c-8} = \frac{c+8 - 4 \cdot 4}{4(c-8)} = \frac{c+8 - 16}{4(c-8)} = \frac{c-8}{4(c-8)} = \frac{1}{4}$

Полученное значение $\frac{1}{4}$ является константой и не зависит от переменной $c$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, упростим его по действиям. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 7$ и $x \neq \frac{7}{2}$.

1. Выполним сложение в скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4}{x - 7} + \frac{14}{x^2 - 14x + 49} = \frac{4}{x - 7} + \frac{14}{(x - 7)^2} = \frac{4(x-7) + 14}{(x-7)^2} = \frac{4x - 28 + 14}{(x-7)^2} = \frac{4x-14}{(x-7)^2} = \frac{2(2x-7)}{(x-7)^2}$

2. Теперь выполним умножение. Разложим числитель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$. Выполняем умножение и сокращаем:

$\frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} \cdot \frac{x^2 - 49}{2x - 7} = \frac{2(2x-7)}{(x-7)^2} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{2x-7} = \frac{2(x+7)}{x-7}$

3. Наконец, выполним вычитание. Дроби уже имеют общий знаменатель:

$\frac{2(x+7)}{x-7} - \frac{7x-21}{x-7} = \frac{2x+14 - (7x-21)}{x-7} = \frac{2x+14-7x+21}{x-7} = \frac{-5x+35}{x-7}$

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$\frac{-5(x-7)}{x-7} = -5$

Полученное значение $-5$ является константой и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-5$.