Номер 32, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

32. Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$;

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$;

в) $\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$;

г) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$.

а) $\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $x^2 + 2x - 63$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + 2x - 63 = 0$.
По теореме Виета:

• сумма корней $x_1 + x_2 = -2$;
• произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -63$.

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -9$.
Следовательно, разложение числителя имеет вид: $x^2 + 2x - 63 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 7)(x - (-9)) = (x - 7)(x + 9)$.

2. Разложим знаменатель $49 - x^2$. Это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{(x - 7)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)}$

4. Заметим, что множители $(x - 7)$ и $(7 - x)$ являются противоположными, то есть $(x - 7) = -(7 - x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(7 - x)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)}$

5. Сократим общий множитель $(7 - x)$:
$\frac{-(x + 9)}{7 + x} = -\frac{x + 9}{x + 7}$

Ответ: $-\frac{x + 9}{x + 7}$

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$

1. Разложим числитель $6x^2 + x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$6x^2 + x = x(6x + 1)$.

2. Разложим знаменатель $6x^2 - 17x - 3$. Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 17x - 3 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{36}{12} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Разложение знаменателя: $6x^2 - 17x - 3 = 6(x - 3)(x - (-\frac{1}{6})) = 6(x-3)(x+\frac{1}{6}) = (x - 3)(6x + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{x(6x + 1)}{(x - 3)(6x + 1)}$

4. Сократим общий множитель $(6x+1)$:
$\frac{x}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x}{x - 3}$

в) $\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$

1. Разложим числитель $8x - x^2$, вынеся за скобки $-x$ для удобства последующего сокращения:
$8x - x^2 = -x(x - 8)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 3x - 40$. Решим уравнение $x^2 - 3x - 40 = 0$.
По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 3$;
• $x_1 \cdot x_2 = -40$.

Корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -5$.
Разложение знаменателя: $x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x - (-5)) = (x - 8)(x + 5)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{-x(x - 8)}{(x - 8)(x + 5)}$

4. Сократим общий множитель $(x - 8)$:
$\frac{-x}{x + 5} = -\frac{x}{x + 5}$

Ответ: $-\frac{x}{x + 5}$

г) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$

1. Разложим числитель $5x^2 - 12x + 4$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 12x + 4 = 0$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Разложение числителя: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x - 2)(x - \frac{2}{5}) = (x - 2)(5x - 2)$.

2. Разложим знаменатель $25x^2 - 4$ по формуле разности квадратов:
$25x^2 - 4 = (5x)^2 - 2^2 = (5x - 2)(5x + 2)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 2)(5x - 2)}{(5x - 2)(5x + 2)}$

4. Сократим общий множитель $(5x - 2)$:
$\frac{x - 2}{5x + 2}$

Ответ: $\frac{x - 2}{5x + 2}$