Номер 27, страница 7, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27. Сравните значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}};$

б) $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10};$

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7};$

г) $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}.$

а) Сравним выражения $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первое выражение. Разложим 192 на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $192 = 64 \cdot 3$.

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.

Теперь упростим второе выражение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{(7 + 4\sqrt{3}) - (7 - 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$.

Сравнивая результаты упрощения, мы видим, что оба выражения равны $8\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

б) Сравним выражения $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$.

Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства между положительными числами сохраняется при возведении их в квадрат.

Возведем в квадрат первое выражение, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7 \cdot 10} + (\sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$.

Теперь сравним результаты: $17 + 12\sqrt{2}$ и $17 + 2\sqrt{70}$. Вычтем 17 из обоих выражений. Нам нужно сравнить $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$.

Разделим оба выражения на 2, чтобы сравнить $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$.

Снова возведем в квадрат: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$ и $(\sqrt{70})^2 = 70$.

Так как $72 > 70$, то $6\sqrt{2} > \sqrt{70}$, следовательно $12\sqrt{2} > 2\sqrt{70}$, и $17 + 12\sqrt{2} > 17 + 2\sqrt{70}$.

Значит, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

Упростим второе выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)$:

$(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$.

Выполним вычитание:

$\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7} = \frac{(5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7)}{1} = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14$.

Теперь сравним $\sqrt{198}$ и $14$. Для этого сравним $198$ с квадратом числа $14$.

$14^2 = 196$.

Так как $198 > 196$, то $\sqrt{198} > \sqrt{196}$, а значит $\sqrt{198} > 14$.

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

г) Сравним выражения $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$.

Оба выражения положительны, поэтому сравним их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(2\sqrt{5} + 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10 \cdot 19} + (\sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$.

Теперь сравним $29 + 12\sqrt{5}$ и $29 + 2\sqrt{190}$. Вычтем 29 из обоих выражений и сравним $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$.

Чтобы сравнить эти числа, представим множители перед корнями в виде корней: $12\sqrt{5} = \sqrt{144 \cdot 5} = \sqrt{720}$ и $2\sqrt{190} = \sqrt{4 \cdot 190} = \sqrt{760}$.

Так как $720 < 760$, то $\sqrt{720} < \sqrt{760}$, следовательно $12\sqrt{5} < 2\sqrt{190}$.

Отсюда $29 + 12\sqrt{5} < 29 + 2\sqrt{190}$.

Значит, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.