Номер 20, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

20. Найдите НОД и НОК чисел:

а) $2^{14} \cdot 3^7$ и $2^{11} \cdot 3^{15}$;

б) $2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$;

в) $2^{124} \cdot 3^7$ и $2^{111} \cdot 5^5$;

г) $2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$.

а) Даны числа $a = 2^{14} \cdot 3^7$ и $b = 2^{11} \cdot 3^{15}$.

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо взять произведение их общих простых множителей, каждый из которых возведен в наименьшую из степеней, с которыми он входит в разложения чисел.

Общие простые множители для $a$ и $b$ — это 2 и 3.
Степень множителя 2 в числе $a$ равна 14, а в числе $b$ — 11. Наименьшая степень: $\min(14, 11) = 11$.
Степень множителя 3 в числе $a$ равна 7, а в числе $b$ — 15. Наименьшая степень: $\min(7, 15) = 7$.
Таким образом, $НОД(a, b) = 2^{11} \cdot 3^7$.

Для нахождения Наименьшего Общего Кратного (НОК) необходимо взять произведение всех простых множителей, входящих хотя бы в одно из разложений, причем каждый множитель берется с наибольшим показателем степени.
Наибольшая степень для множителя 2: $\max(14, 11) = 14$.
Наибольшая степень для множителя 3: $\max(7, 15) = 15$.
Таким образом, $НОК(a, b) = 2^{14} \cdot 3^{15}$.

Ответ: $НОД(2^{14} \cdot 3^7; 2^{11} \cdot 3^{15}) = 2^{11} \cdot 3^7$; $НОК(2^{14} \cdot 3^7; 2^{11} \cdot 3^{15}) = 2^{14} \cdot 3^{15}$.

б) Даны числа $a = 2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7$ и $b = 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 5, 7) с наименьшими показателями:
Для 2: $\min(20, 11) = 11$.
Для 5: $\min(13, 14) = 13$.
Для 7: $\min(7, 6) = 6$.
Следовательно, $НОД(a, b) = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 5, 7) с наибольшими показателями:
Для 2: $\max(20, 11) = 20$.
Для 5: $\max(13, 14) = 14$.
Для 7: $\max(7, 6) = 7$.
Следовательно, $НОК(a, b) = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$.

Ответ: $НОД(2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7; 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6) = 2^{11} \cdot 5^{13} \cdot 7^6$; $НОК(2^{20} \cdot 5^{13} \cdot 7^7; 2^{11} \cdot 5^{14} \cdot 7^6) = 2^{20} \cdot 5^{14} \cdot 7^7$.

в) Даны числа $a = 2^{124} \cdot 3^7$ и $b = 2^{111} \cdot 5^5$.

Для нахождения НОД берем только общие простые множители с наименьшими показателями. Единственный общий множитель — это 2.
Представим числа с полным набором оснований: $a = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^0$ и $b = 2^{111} \cdot 3^0 \cdot 5^5$.
Наименьший показатель для 2: $\min(124, 111) = 111$.
Наименьший показатель для 3: $\min(7, 0) = 0$.
Наименьший показатель для 5: $\min(0, 5) = 0$.
Следовательно, $НОД(a, b) = 2^{111} \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 2^{111}$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5) из обоих разложений с наибольшими показателями:
Для 2: $\max(124, 111) = 124$.
Для 3: $\max(7, 0) = 7$.
Для 5: $\max(0, 5) = 5$.
Следовательно, $НОК(a, b) = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$.

Ответ: $НОД(2^{124} \cdot 3^7; 2^{111} \cdot 5^5) = 2^{111}$; $НОК(2^{124} \cdot 3^7; 2^{111} \cdot 5^5) = 2^{124} \cdot 3^7 \cdot 5^5$.

г) Даны три числа: $a = 2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}$, $b = 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$ и $c = 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}$.

Для нахождения НОД берем общие простые множители (2, 3, 5) с наименьшими показателями из всех трех чисел:
Для 2: $\min(12, 9, 11) = 9$.
Для 3: $\min(11, 14, 7) = 7$.
Для 5: $\min(16, 26, 20) = 16$.
Следовательно, $НОД(a, b, c) = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$.

Для нахождения НОК берем все простые множители (2, 3, 5) с наибольшими показателями из всех трех чисел:
Для 2: $\max(12, 9, 11) = 12$.
Для 3: $\max(11, 14, 7) = 14$.
Для 5: $\max(16, 26, 20) = 26$.
Следовательно, $НОК(a, b, c) = 2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$.

Ответ: $НОД(2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}; 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}; 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}) = 2^9 \cdot 3^7 \cdot 5^{16}$; $НОК(2^{12} \cdot 3^{11} \cdot 5^{16}; 2^9 \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}; 2^{11} \cdot 3^7 \cdot 5^{20}) = 2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{26}$.