Номер 19, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

19. Найдите $НОД$ и $НОК$ чисел:

а) 84 и 56;

б) 66, 99 и 132;

в) 96 и 144;

г) 39, 65 и 156.

а) 84 и 56

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) разложим числа на простые множители.

Разложение числа 84:
$84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

Разложение числа 56:
$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2^3 \cdot 7$

Чтобы найти НОД, необходимо перемножить общие простые множители, взяв каждый с наименьшим показателем степени:
НОД(84, 56) = $2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$.

Чтобы найти НОК, необходимо перемножить все простые множители из разложений, взяв каждый с наибольшим показателем степени:
НОК(84, 56) = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Ответ: НОД(84, 56) = 28; НОК(84, 56) = 168.

б) 66, 99 и 132

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 66:
$66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$

Разложение числа 99:
$99 = 3 \cdot 33 = 3^2 \cdot 11$

Разложение числа 132:
$132 = 2 \cdot 66 = 2 \cdot 2 \cdot 33 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11$

Находим НОД, взяв общие множители (3 и 11) с наименьшими степенями:
НОД(66, 99, 132) = $3^1 \cdot 11^1 = 33$.

Находим НОК, взяв все множители (2, 3, 11) с наибольшими степенями:
НОК(66, 99, 132) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 396$.

Ответ: НОД(66, 99, 132) = 33; НОК(66, 99, 132) = 396.

в) 96 и 144

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 96:
$96 = 2 \cdot 48 = 2^5 \cdot 3$

Разложение числа 144:
$144 = 12 \cdot 12 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2$

Находим НОД (общие множители 2 и 3 с наименьшими степенями):
НОД(96, 144) = $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$.

Находим НОК (все множители 2 и 3 с наибольшими степенями):
НОК(96, 144) = $2^5 \cdot 3^2 = 32 \cdot 9 = 288$.

Ответ: НОД(96, 144) = 48; НОК(96, 144) = 288.

г) 39, 65 и 156

Разложим числа на простые множители:

Разложение числа 39:
$39 = 3 \cdot 13$

Разложение числа 65:
$65 = 5 \cdot 13$

Разложение числа 156:
$156 = 2 \cdot 78 = 2^2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$

Находим НОД (единственный общий множитель - 13):
НОД(39, 65, 156) = $13$.

Находим НОК (все множители 2, 3, 5, 13 с наибольшими степенями):
НОК(39, 65, 156) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 780$.

Ответ: НОД(39, 65, 156) = 13; НОК(39, 65, 156) = 780.