Номер 17, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17. Найдите наибольший общий делитель (НОД) чисел:

а) $154$ и $210$;

б) $240$, $360$ и $900$;

в) $105$ и $165$;

г) $144$, $216$ и $324$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 154 и 210, разложим их на простые множители.
Разложение числа 154 на простые множители:
$154 = 2 \cdot 77 = 2 \cdot 7 \cdot 11$
Разложение числа 210 на простые множители:
$210 = 10 \cdot 21 = (2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Теперь найдем общие множители в обоих разложениях. Это числа 2 и 7.
Перемножим общие множители, чтобы найти НОД:
$НОД(154; 210) = 2 \cdot 7 = 14$
Ответ: 14

б) Чтобы найти НОД чисел 240, 360 и 900, разложим каждое число на простые множители.
Разложение числа 240:
$240 = 24 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$
Разложение числа 360:
$360 = 36 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$
Разложение числа 900:
$900 = 9 \cdot 100 = 3^2 \cdot 10^2 = 3^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$
Найдем общие простые множители и выберем для каждого наименьшую степень, в которой он входит в разложения:
- Общий множитель 2: наименьшая степень $2^2$.
- Общий множитель 3: наименьшая степень $3^1$.
- Общий множитель 5: наименьшая степень $5^1$.
Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(240; 360; 900) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
Ответ: 60

в) Найдем НОД чисел 105 и 165. Для этого разложим их на простые множители.
Разложение числа 105:
$105 = 5 \cdot 21 = 3 \cdot 5 \cdot 7$
Разложение числа 165:
$165 = 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5 \cdot 11$
Общие множители в разложениях - это 3 и 5.
Перемножим их, чтобы найти НОД:
$НОД(105; 165) = 3 \cdot 5 = 15$
Ответ: 15

г) Найдем НОД чисел 144, 216 и 324. Сначала разложим все три числа на простые множители.
Разложение числа 144:
$144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$
Разложение числа 216:
$216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$
Разложение числа 324:
$324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4$
Теперь найдем общие простые множители и выберем для каждого наименьшую степень, в которой он встречается в разложениях:
- Общий множитель 2: наименьшая степень $2^2$.
- Общий множитель 3: наименьшая степень $3^2$.
Перемножим эти множители, чтобы найти НОД:
$НОД(144; 216; 324) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Ответ: 36