Номер 11, страница 5, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Найдите остаток от деления числа:

a) $43215436$ на $10$;

б) $1234321$ на $3$;

в) $1234567$ на $9$;

г) $3456785$ на $6$.

а) Для нахождения остатка от деления числа на 10 достаточно посмотреть на его последнюю цифру. У числа 43 215 436 последняя цифра 6. Любое целое число $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot q + r$, где $r$ — это последняя цифра. В данном случае: $43 215 436 = 10 \cdot 4 321 543 + 6$. Таким образом, остаток от деления равен 6.

Ответ: 6

б) Остаток от деления числа на 3 равен остатку от деления суммы его цифр на 3. Это свойство основано на том, что любая степень десяти при делении на 3 даёт в остатке 1 ($10^k \equiv 1 \pmod{3}$).

Сумма цифр числа 1 234 321 равна:

$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16$

Теперь найдём остаток от деления полученной суммы на 3:

$16 = 3 \cdot 5 + 1$

Остаток равен 1.

Ответ: 1

в) Правило для нахождения остатка от деления на 9 аналогично правилу для 3: остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9 (так как $10^k \equiv 1 \pmod{9}$).

Сумма цифр числа 1 234 567 равна:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$

Теперь найдём остаток от деления суммы на 9:

$28 = 9 \cdot 3 + 1$

Остаток равен 1.

Ответ: 1

г) Чтобы найти остаток от деления числа на 6, мы должны найти остатки от деления этого числа на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$. Пусть искомый остаток $r$. Тогда $r$ должен удовлетворять системе сравнений по модулю 2 и 3.

1. Остаток от деления на 2. Остаток от деления на 2 определяется последней цифрой. У числа 3 456 785 последняя цифра 5. При делении 5 на 2 получаем остаток 1 ($5 = 2 \cdot 2 + 1$). Значит, искомый остаток $r$ при делении на 6 должен быть нечётным.

2. Остаток от деления на 3. Найдём сумму цифр числа 3 456 785: $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 5 = 38$. Теперь найдём остаток от деления 38 на 3: $38 = 3 \cdot 12 + 2$. Остаток равен 2.

Итак, искомый остаток $r$ ($0 \le r < 6$) должен удовлетворять двум условиям:

• При делении на 2 давать остаток 1 (быть нечётным).
• При делении на 3 давать остаток 2.

Переберём возможные остатки от деления на 6 (0, 1, 2, 3, 4, 5). Выберем из них нечётные: 1, 3, 5. Теперь проверим для них второе условие:

• $1$ при делении на 3 даёт остаток 1. Не подходит.
• $3$ при делении на 3 даёт остаток 0. Не подходит.
• $5$ при делении на 3 даёт остаток 2 ($5 = 3 \cdot 1 + 2$). Подходит.

Следовательно, остаток от деления числа 3 456 785 на 6 равен 5.

Ответ: 5